Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
oo
/ = 2*"/п. / = Х"/„. (1.4)
я = 0 л
Кроме очевидных правил (произведение срф будет величиной по-
k I
рядка k -)-/), имеется одно, которое менее очевидно, но существенно для дальнейшего доказательства. Оно связано с дифференцированием / по времени, где
t = = (1.5)
Допустим, что t имеет нулевой порядок по X. Поэтому
f ¦ — д/ — 1 д/ — X df П M
должно быть первого порядка по Или вообще можем написать
/ о = Z1 о - (1.7)
г 1 TTT
Иначе говоря, дифференцирование / по X0 повышает порядок / на единицу; опуская значок 1 под нулем, обозначающим дифференцирование по X01 будем писать просто
(' *
Дифференцирование по Xk не меняет порядок /. Это значит, что предполагается медленное изменение всех величин по х°.
§ 2. О разложении метрического поля
Здесь мы будем иметь дело только с изолированными мате" риальными системами. Вдали от всякой материи будем иметь исчезающую кривизну пространственно-временного континуума. Следовательно, на бесконечности можно допустить плоское пространство—время, в котором можно еще произвольным образом „ фиксировать систему координат. Однако для простоты будем считать, что система координат — декартова. Итак, что касается измерений, то на бесконечности имеются те же условия, что и в инерциальной системе координат, а для метрики имеем (г2 = xsXs)
lim S^ (*) = "la?- (%) = 1.- = rIik = — bIk)- (2- О
г oo s 2. о разложении метрического поля
67
Переход от римановой метрики gejJ к галилеевой Tjap на бесконечности играет существенную роль в теории измерения, как было пояснено в гл. I, § 9. К этому вопросу мы вернемся в гл. V, § 1. Запишем теперь риманову метрику в виде
go» = ^ +Kr (2.2)
где Aag стремится к нулю при г = (xsxs)'1', стремящемся к бесконечности. Теперь разложим Aag в ряд по степеням X. Так как для с —>со имеем Aep —> 0, то мы должны начать ряд Aap по крайней мере с члена первого порядка, т. е.
A«?=Aep+Aep + Ae?+ . . . . (2.3)
12 3
Но, исследуя более глубоко структуру уравнений поля ОТО, можно сказать еще больше. Покажем, что
A00=O, A0m = O (2.4)
1 2
(позже мы узнаем о дальнейших ограничениях на Aap).
В самом деле, можно показать справедливость последнего уравнения, сравнивая уравнения движения пробной частицы в теории Ньютона с соответствующими уравнениями в ОТО. В теории Ньютона для пробной частицы массы Дт, находящейся в гравитационном поле <р, имеем и
S (— Дт) J dt (с2 — і І' (s+ <р) = 0, is = ^f- (2.5а) t,
Уравнение движения для пробной частицы в ОТО имеет вид и
(—Дай) 8 f ^Ldt= 0, ds2 = (? + Ae?) d%' (2.56)
fi
Разлагая квадратный корень по степеням X, получаем из последнего уравнения
(-Дм) 8 f & (с*-І'+^ctfi00 +Ch0Jf+ ^ Am„H") = 0. ti
(2.6)
Следовательно,
уС2Аш->ср, или порядка X0,
сА0л?" —> по крайней мере как 1/с, т. е. как X, hmn^n%nпо крайней мере как 1/с, т. е. как X.
5* 68
гл. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Эти соотношения доказывают справедливость (2.4). Итак, имеем
^OO = hOO + ^oo ^oo + 2 3 4
A0 П = Kn + hOn +hOn-jT--------(2.7)
2 3 4 v '
hmn=hmn-\-hmn-\-hmn-^r ...
12 3
как условие совместности теории Ньютона и ОТО.
§ 3. О трех аспектах нашего рассмотрения
В принципе мы изображаем материальные тела, движение которых мы хотим описать, в виде сингулярностей гравитационного поля. Это ведет к использованию аппарата 8-функций, который помогает нам избежать перенормировки. Если мы имеем дело . с такими точечными частицами, то будем говорить об этом аспекте теории как об аспекте сингулярностей поля.
Чтобы углубить метод о-функций, нам придется перейти к случаю непрерывного распределения, т. е. допустить, что материя непрерывна и текуча. Эта проблема представляет некоторый интерес сама по себе. Путем предельного процесса можно перейти от этого аспекта теории к аспекту сингулярностей поля, что мы и будем делать.
Наконец, мы часто будем использовать еще более общий аспект теории, а именно случай произвольного тензора энергии-импульса, особенно при обсуждении тех случаев, когда его конкретный вид не важен.
Таким образом, в аспекте сингулярностей поля мы имеем
N
А А
^ = -8^'=-?* 2 «(0) fdsAbi4)(x(3.1)
A = 1 -со А А
А
Напомним, что (sA) есть мировая линия А-й сингулярности,
А
а тад — ее масса покоя; вследствие использования „хороших" 8-функций dsA есть регуляризованный пространственно-временной интервал Л-й частицы.
В аспекте непрерывного распределения имеем
©И» = -SiCj*"= у-g
р+я
"dp ]
(3.2)
Здесь плотность р — функция давления р, а иа(х) — эйлерово поле вектора скоростей. Эти величины удовлетворяют условиям. § 3. О ТРЕХ АСПЕКТАХ НАШЕГО РАССМОТРЕНИЯ
69
выражающим закон сохранения материи:
^e-Bp=I. (Pa-Xti=O (3.3)
(если принять первое из написанных уравнений, то второе может быть выведено из закона сохранения J-^vjv=O путем свертывания
его с и„). и*
В аспекте произвольного тензора энергии-импульса имеем
QF = -^tr = -Bftri*. gj. (3.4)
Здесь Ax представляют динамические величины, описывающие физическое поле, подобно Sjct в первом аспекте и р, р, иа — во втором. Будем считать, как и в первых двух аспектах, что jji1v (Л, g) исчезает вне достаточно большого объема.
