Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ Б. Метод приближений и уравнения поля
Введем теперь общую схему применения метода приближений к уравнениям ОТО. Будет несколько более удобным, по крайней мере в общей схеме, рассматривать в качестве основных не величины А, а величины у. Поэтому начнем с определения j. Напишем
yZir^ga? — = 7)=13-+- f?, (5.1) § 5. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЙ И УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
73
что является определением Эти величины будут рассматри-
ваться как наши основные выражения, характеризующие метрическое поле; из них могут быть выведены все другие:
Ш = ІЙГ.Р I = I Гр Г1 = Ir0 + Tctp Г1 ІГ2. (5.2) откуда следует
= I T +TiwI. (5-3)
поэтому
У—g = 1 -f- rTiaP^ 4~ Нелинейные выражения. (5.4)
Из последнего уравнения и определения Zzcip следует
Aap=^p--Л Р° Н~ Нелинейные выражения. (5.5)
Мы видим, учитывая (4.15), что
тоо= Too_)_Too_j_Too_)_ _ _ (5.6а)
12 3
т0т = Tom тот _ _ _ _ (5 6б)
2 3
Т™ = утп 4- ут" 4- утп +________(5.6в)
1 2 3
Теперь рассмотрим основные уравнения ОТО
©^4-8^ = 0. (5.7)
' Начнем с вычисления в явном виде линейной части т. е. той части,, которая содержит только вторые производные от у и причем только л*|нейно. Плотность тензора Эйнштейна может быть представлена в виде
= + (5.8)
где О*1" — квадратичная функция первых производных.
Следовательно, линейная часть может быть записана в виде
L ((5Г) = Ki^p1 a?, (5.9)
где
K^ = K^a',? = Y4--rfV — tTTp — TfYv)- (5-Ю)
Интересно отметить свойства симметрии выражения К^ Мы видим, что Д"1"1'^ антисимметрично по индексам [i, а и антисимметрично по индексам v, ?, что Kv"*'симметрично по отношению к одновременной перестановке [і с v к а с р и, наконец, что K^ol' vp 74 гл. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
удовлетворяет соотношению
^1WVP + ^Мї« ^H-P-= (5Л1)
Таким образом, очевидно, что выражение д^1'"3 обладает всеми свойствами симметрии главного тензора кривизны Римана. Запишем основные уравнения ОТО в форме
W (©•") +Src^ = O1 (5.12)
где символ N (S) означает все нелинейные члены в 5.
Обсудим теперь коротко свойства преобразований По-
скольку gf-v есть плотность тензора, то
—(IaiV1 x*v det-^-9 - 4 х I a IPaet дх* '
Введем в это уравнение
«V <5ЛЗ>
Пренебрегая произведениями аа и ау, получаем
= + ^а! ,e + ^cfla - ^Oaiat (5.15)
или в явном виде
T00= T00-Ka010-aV (5.16а)
T-»=To»_eoiB+a»0t (5Л6б)
*тп тп т п і jm/t s і «тл 0 і
T =T —a j л—a. Im-I-S ІЇ |s + 8 a Ю- (5.1Ьв)
Мы не нарушим порядка, с которого начинаются у, если разложим а таким же образом, как и прежде, т. е.
a° = a°+a°+ .... (5.17а)
2 3
ат = ат-\-ат+-________(5.176)
1 2
После этих вводных замечаний перейдем к главной проблеме настоящего параграфа, которая заключается в том, чтобы применить метод приближений к уравнениям поля ОТО. Перепишем (5.12) в виде
К0а'°\a6 + N ((5^)+8^00 = 0, (5.18а)
K0a' л6| аь+К0а-lao+ N (®0")+ 8^°" = 0, (5.186)
is-ma, пЪ і JymQ1 пЬ і ту та, лО і т^-тО, пО і A laft-f-A ] 0Ь —І— ^V IeO-I-A. [00~Г
+w(®m")+8uj-m" = 0. (5.18B) § 5. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
75
Записывая (5.10) более подробно, имеем
Кта'пЬ = ~(~Ьпауп" — SmYaBmV0H- ЬаЬутп), (5.19а)
/С"' " =¦§¦(— 8лаТ06 + SaoT0"). (5.196)
K0a'0b = ~{~yab4-8aoToo)- (5.19B)
Таким образом, /(та'пЬ и К0а'0Ь начинаются с первого порядка, a K0a' пЬ — со второго. Но, поскольку Jjmn начинается с четвертого порядка, J"0" — с третьего, a J'00— со второго, то, начиная на этот раз снизу, для самого низшего порядка будем иметь
Tyr та, пЬ n zsOa, Ob n „Оа, пЬ п оп.
A Iab==U, A |a6 = U, A Iab = U. (5.20)
1 1 2
Общее решение первого из этих уравнений дает
Tm" = + -SmVli, (5.21)
Iii і
где b—произвольные функции. Сравнивая это с (5.16в), мы видим, что т'"" может быть уничтожено соответствующим выбором
системы координат. Допустим, что это сделано, откуда следует,
что Ymn = O и Kma'" начинается по крайней мере со второго і
порядка. Учитывая этот результат, получаем (поскольку J'00 второго порядка)
K0a' 06lab = \ J001SS=0- (5.22)
Точно так же третье из уравнений (5.20) дает
T 0п = Ь\п. (5.23)
2 2 1
Это также показывает, что т°" может быть уиичтожено соответ-
2
ствующим преобразованием времени. Итак, мы пришли к следующему результату: путем простого ограничения нашей системы координат всегда можно выбрать
¦\тп = Y00 = у0" = 0. (5.24)
і 1 2
Продвинемся на шаг вперед, снова начиная снизу в (5.18). Теперь найдем
Kma'nb ,ab = о, K0a'06 lab + ZkJm = 0. (5.25)
2 2 . 2
Таким образом, как и прежде, получаем
ymn = Q. (5.26)
2 76
гл. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Однако для т00 это уже не имеет места. Эта величина должна 2
удовлетворять уравнению
т f°i8lt<f° = 0- (5-27)
Следовательно, у00 Ф 0. Перейдем теперь к т0п. Так как нелиней-
2 3
ные члены должны быть по крайней мере четвертого порядка, то ими можно пренебречь. Тогда
КпЬ Ш + K0a' , Oa + 8Kjl0n = 0, (5.28)
3 2 13
что также дает нам величину т°". которая отлична от нуля. Воз-
