Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
A —fw A A
А. иге" і „ ч HC^
ds Л I H-v ) ds , ds .
A A
AAA
dsA = (g^d%*d^y\ (10.3)
Уравнения (10.1) являются уравнениями поля; они определяют ga9 как функции от мировых точек.
Уравнения (10.2) являются уравнениями движения; они опреде-
A А
ляют как функции от Sj4 или Sft как функции от х°, если ввести в них соответствующее изменение параметра.
Но мы знаем также, что две системы уравнений не независимы друг от друга. Из тождеств Бианки = как было показано
ранее, мы имеем
Sm(O) /^8(4,(*-о #-g- I ^
A=I -со А A/.?
N A AA
= Sm(O) f dsAbU) (X-Z)Q* (sA). (10.4) § 10. МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ПОЛЯ
61
Поэтому мы повторяем: уравнения движения (10.2) являются следствием уравнений поля и представляют собой условие интегрируемости последних.
Таким образом, мы не можем решить уравнений поля для произвольного движения, т. е. мы не можем найти компоненты g как функционалы произвольного движения источников, появляющихся в правой части уравнений поля (10.1). Такое решение будет существовать только в том случае, если движение удовлетворяет уравнениям движения, т. е. (10-2).
Следовательно, обычный метод решения уравнений поля с допущениями произвольного движения, применяемый во всех линейных теориях поля, здесь не пригоден.
Как можно избежать этой трудности? Мы говорили ранее, что это можно сделать двумя способами: во-первых, применив диполь-ный метод, который представляет скорее принципиальную, чем практическую, ценность и который мы сейчас опишем; во-вторых, применив метод приближений, с которым мы будем иметь дело в гл. II и III.
Модифицируя уравнения Эйнштейна, мы допускаем, что, кроме движущихся точечных частиц, источники поля состоят из добавочного поля Это поле должно быть выбрано таким образом, чтобы сделать движение частиц произвольным. Таким образом, нужно решить эти обобщенные неэйнштейновские уравнения, в которых появляется искусственное поле, лишенное какого-либо физического смысла, для произвольного движения. Но в том случае, когда движение является правильным релятивистским, добавочное поле 35v исчезает. Или наоборот: если добавочное поле исчезает, уравнения становятся эйнштейновскими, а движение — правильным движением, удовлетворяющим уравнениям (10.2).
Назовем добавочное, искусственное поле Ttf полем дипольных потенциалов.
Поэтому рассмотрим уравнения поля ОТО. с некоторым добавочным тензором
= (10.5)
где мы допускаем, как в § 8,
А °° Ла Аз
r3 = 2m(o)c2 /dsA4) й-. ^ = ^hD, g. ?о- ' (10.6)
a -jo а а
Тогда уравнения движения имеют вид
(10.7) 62
ГЛ. 1. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИВ
Спрашивается, возможно ли найти и уравнение поля для вектора D таким образом, чтобы уравнения движения выполнялись автоматически для любого произвольного движения? Действительно, это возможно только тогда, когда (Sc^p становится равным нулю вследствие уравнений поля для Именно такой случай осуществляется, если уравнения поля для 23а имеют вид
А °° AA
?; P — Я"р®р == — X «(0) C2 / dsA\4) (Jf — У O» (5Л).
a^co (10.8) „А —А А
Л — Л g I MctS
+ UvfSiJSiJ
и
©¦P = ®4* + ©*' — g^W;,. (10.9)
Действительно, согласно § 6, можно переписать уравнение (10.8) в форме
р — /г"3©,, =.— р. (10.10)
В соответствии с известными правилами тензорного анализа имеем
= + = (10.11)
что тождественно уравнениям поля (10.10).
Каковы характерные особенности подобной теории? Во-первых, в этой теории движение частиц произвольно. Действительно, используя тождества Бианки в (10.5), получаем уравнения поля для добавочного поля которые во всяком случае выполняются.
Таким образом, система уравнений (10.5) — (10.8) имеет решение для произвольного движения, и из нее можно найт,и-
= .... 5]. (10.12)
©" = ©" (X) [І I----,?. * (10.13)
Здесь квадратные скобки, как обычно, означают функциональную зависимость.
Во-вторых, положим в уравнениях (10.5) — (10.8) 5)а=0, тогда эти обобщенные уравнения поля становятся уравнениями Эйнштейна и уравнения движения (10.2) должны быть удовлетворены. Таким образом, в конце: нашей процедуры можно вер- s 10. метод решения уравнении поля
63
нуться к уравнениям поля Эйнштейна, находя движение из условия, что добавочное дипольное поле исчезает.
В-третьих, пусть уравнения поля Qa = О удовлетворены; это означает, что мы выбрали движение, которое произвольно в обобщенных уравнениях, так что оно является правильным движением, согласно ОТО. Следует ли из такого выбора движения, что поле 2>а исчезает? Это не обязательно, потому что уравнения поля для 55я принимают тогда вид (10.8)
Эти однородные уравнения могут иметь решения, отличные от нуля. Только если мы допустим также, что в качестве решения 23а для
А
случая Q11 = O мы берем решение S11 = O, то действительно будем иметь
2«=0<?®.(*)[1 І ..., И sa О.' (10.14)
Допустим, что мы решили обобщенную систему уравнений для
А
gap(x). Подставим эти значения в Qct (sA). Поскольку движение произвольно, можно взять уравнения движения в виде
