Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
длина рассеяния равна диаметру твердой сферы. В общем случае величина а
может быть как положительной, так и отрицательной. Длина рассеяния
положительна для преимущественно отталкивательного потенциала (см. фиг.
87) и отрицательна для преимущественно притягивающего потенциала (см.
фиг. 88).
При малых энергиях можно пренебречь в (13.22) всеми членами, кроме -1/а,
так что получаем
306 Гл. 13. Неидеальные газы при низких температурах
Это приближение, известное как "приближение, не зависящее от вида
потенциала", показывает, что при малых энергиях потенциал действует как
потенциал твердых сфер с диаметром а. Следовательно, в этом случае можно
использовать уравнение (13.11)1). В общем случае уравнение (13.11),
очевидно, применимо для вычисления энергии в самом нижнем порядке по
длине рассеяния а. Пригодность этого уравнения для вычисления энергии в
высших порядках по а зависит от вида потенциала.
§ 3. МЕТОД ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ЗАДАЧ IV ТЕЛ
Рассмотрев метод псевдопотенциалов для проблемы двух тел, можно теперь
обсудить обобщение его на проблему N тел. Нижеследующие рассуждения не
зависят от типа статистики.
Рассмотрим сначала задачу N тел в случае взаимодействий типа потенциала
твердых сфер. Уравнение Шредингера системы записывается в виде
~^г(У* + + У*)'Р(Г.........Г*) = ?ЧГ(Г, r;v) (13.23)
(| г, - Tj | > а для всех I ф у), 'F(rI, .... Гд,) = 0 (в противном
случае).
Мы требуем также, чтобы функция удовлетворяла некоторому граничному
условию на поверхности большого куба, например потребуем выполнения
граничных условий периодичности. Взаимодействие типа потенциала твердых
сфер эквивалентно граничному условию обращения волновой функции Ч* в нуль
при | г; - г/ I = а< рДе I ф у. В ЗМ-мерном конфигурационном пространстве
геометрическое место точек, для которых | гг-г^| = а, есть "древовидная"
гиперповерхность, часть которой схематически представлена на фиг. 89.
Здесь цилиндр, обозначенный через 12, представляет собой поверхность, на
которой | г, - г21 = а, когда г3, . . ., Гд, могут принимать любые
значения. Полное "дерево" состоит из всей совокупности ij2N (N-1)
подобных цилиндров, пересекающих друг друга некоторым сложным образом.
Если диаметр твердой сферы а мал, то и радиусы этих цилиндров будут малы.
Чтобы найти волновую функцию вне "дерева", естественно заменить "дерево"
системой "мультиполей" на "осях", т. е. на линиях | г,- - Гу| = 0.
Нетрудно показать, что замена каждого цилиндра эквивалентными по действию
мультиполями, расположенными на его оси, соответствует введению
двухчастичных псевдопотенциалов, рассмотренных в предшествующем
параграфе. Наша "расширенная" волновая функция должна при этом
удовлетворять уравнению Шредингера, содержащему
¦) Вывод уравнения (13.Ц) остается справедливым и при отрицательной длине
рассеяния а.
§ 3. Метод псевдопотенциалов для задач N тел 307
сумму Ч(N-1) двухчастичных псевдопотенциалов. Система двухчастичных
псевдопотенциалов, однако, не эквивалентна в точности действию всего
"дерева". Хотя они правильно передают поведение вблизи цилиндров, однако
вблизи пересечений двух или более цилиндров результат не будет
обязательно соответствовать правильному поведению ЧС Например,
пересечение поверхностей, определяемых условиями | г, - г2| = а и j rj -
г3|=а, представляет конфигурацию, соответствующую одновременному
столкновению частиц 1,
/2
2 и 3, т. е. типичной задаче трех тел, которая не может быть описана
двухчастичными псевдопотенциалами. Сумма двухчастичных псевдопотенциалов
отвечает только эффектам бинарных столкновений.
Развивая нашу геометрическую картину, можно сделать вывод, что в
дополнение к двухчастичным псевдопотенциалам в каждом пересечении двух и
более цилиндров надо разместить мультиполи (псевдопотенциалы). Чтобы
найти истинную величину этих трехчастичных псевдопотенциалов, а также
псевдопотенциалов более высокого порядка, пришлось бы решать задачи трех
и более тел. Однако их зависимость от диаметра твердых сфер а может быть
получена из соображений размерности.
Например, трехчастичный псевдопотенциал, который необходимо поместить на
пересечении линий [ Г]- г2| = 0 и | г, - г31 = 0, должен входить в
уравнение Шредингера для трех частиц, имеющее следующий вид:
(V? + V2 -f V3 -|- /г2) ф = Сумма двухчастичных псевдопотенциалов -)--
И(Г1 - г2)б(Г1 - г3)Л(ф,
20*
308 Г л. 13. Неидеальные газы при низких температурах
Величина К должна обладать размерностью (длина)1. При малых энергиях (k -
> 0) единственной характерной длиной в задаче является а. Следовательно,
величина К должна быть порядка а4. Таким же образом находим, что
четырехчастичные псевдопотенциалы должны быть порядка а1 и т. д. Если
вычисления проводятся с точностью до а1, то все эти псевдопотенциалы
могут быть опущены. Необходимость введения таких я-частичпых
псевдопотенциалов указывает, что псевдопотенциалы не аддитивны. Эта
ситуация аналогична положению дел в электростатике, где, как известно,
