Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
Выбираем сначала некоторое целое п0 и суммируем по всем пр с Рт^О,
подчиняющимся условию
(12.71)
|>Р = АС
(12.72)
(12.73)
затем суммируем по п0 от 0 до N. Таким образом,
QM<y. Т)= 2 2 ехр (- Р 2 ярер).
ло=0 ("Р) ' 1
(12.74)
Пусть
(12.75)
§ 4. Другое рассмотрение конденсации Бозе - Эйнштейна 297
Пусть, далее, Q (I) есть статистическая сумма фиктивного бозе-
газа из TV (1-?) частиц, в котором искусственно устранен уровень с р = 0:
Q(Q= 2'expf-|i 2 лРерУ (12.76)
(М I Р?=о I
В предельном случае V -> со выражение для Q (|) может быть получено
непосредственно из (12.63):
-Lln(?(?) = y^t/i(z)-(l - I) In z\ (12.77)
здесь z- корень уравнения
О-!)=?",(*). (12-78)
Имея в виду эти определения, перепишем (12.74) в форме
-L\nQN{V,T) = -L\n^Q{l). (12.79)
1=о
Сумма (12.79) содержит 77--)-1 положительных членов. Пусть Q(|) является
наибольшим возможным значением (?(?,). Тогда
Q d) < Q" (У. Т) < (77 + 1) Q (I),
^InQdX^lnQ^H, 7')<1JrlnQ(I) + 4ln(yV+ 1).
В пределе 77 со имеем
jr\nQN<y.T) = ±\aQ(a, (12.80)
4" In Q (1) = Max ln Q(!)]. (12.81)
Очевидно, что | есть средняя доля частиц, занимающих уровень с р = 0.
Покажем, что
l=insL, (12.82)
где (п0) определяется соотношением (12.54). Это доказывает существование
конденсации Бозе-Эйнштейна.
Чтобы найти максимум In Q (?,), будем действовать следующим образом.
1. Из (12.78) находим \ как функцию z для данного значения X3/v. Таким
путем получаем семейство кривых l(z), каждая из которых соответствует
определенному значению k3/v.
298
Гл. 12. Идеальный 6озе-газ
2. При фиксированном значении X3/v определяем находя максимум In Q (|)
вдоль соответствующей кривой \{z).
Из того факта, что g (z) есть монотонно возрастающая функция z,
непосредственно следует, что при данном значении X3/v функция 1 - Е,
монотонно убывает. Кроме того, поскольку g (0) = 0,
все кривые Цг) проходят через точку g=l, z = 0. Семейство кривых ?(z)
качественно изображено на фиг. 86. Вдоль кривой Е, (г) имеем
Таким образом, наибольшее значение In Q (Е,) соответствует наименьшему
возможному значению | на данной кривой | (г). Из рассмотрения фиг. 86
непосредственно видно, что
Это доказывает соотношение (12.82). Дальнейшее обсуждение проблемы
сводится к содержанию предшествующего параграфа.
О I
Фиг. 86. Семейство кривых |(г).
Второй член равен нулю в силу (12.78). Поэтому
-^lnQ(g) = ^-(lnQ), = (Vlnz<0. (12.83)
1 =
о
(12.84)
Задачи
299
Задачи
12.1. В приведенной ниже таблице указаны экспериментальные значения
теплоемкости жидкого гелия '). Эти значения были получены вдоль кривой
давления насыщенного пара жидкого гелия Не4, но можно принять, что они не
сильно отличаются от значений при тех же температурах.
0,0343
0,0510
0,0743
0,1042
а. Показать, что такое поведение теплоемкости характерно для газа
фононов.
б. Найти скорость звука в жидком Не4 при низкой температуре.
12.2. Согласно уравнению (12.64), 0 = 0 при v < vc. Используя формулу 6'
= - (дО/дТ)р, мы получили бы S = 0 при v < vc в противоречии с (12.65). В
чем ошибочность предшествующего утверждения?
12.3. В окрестности г = 1 может быть получено следующее разложение [18]:
ёЧз (г) = 2,363v'"4 + 1,342 - 2,612v - 0,730v2 + ...,
где vs-In г. Отсюда соответствующие разложения для g,v g:/j и g_t/ могут
быть получены по рекуррентной формуле ^л_, = - dgn/dv. Используя эго
разложение, показать, что для идеального бозе-газа скачок производной
дСу/дТ при Т =Тс есть
I д Су \ I д Су \ _ 3,66
VW Ж 1Т^Т+ ~ I йГ ж/г_+г_= тр
12.4. Показать, что уравнение состояния идеального бозе-газа в газовой
фазе может быть записано в форме вириального разложения, т. е.
?-¦7kmi-rh)m-~
12.5. а. Вычислить большую статистическую сумму Q (г, V, Т) для
двумерного идеального бозе-газа и получить предел
lim -i- In 6 (г, V, Т),
где V = L2 есть площадь, которую может занимать система.
б. Найти среднее число частиц на единицу площади как функцию г и 7.
в. Показать, что для двумерного идеального бозе-газа не существует
явления конденсации Бозе - Эйнштейна.
') Таблица взята из диссертации Крамерса [20].
Глава 13
НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Неидеальный газ есть чрезвычайно разреженная система частиц,
взаимодействующих между собой с междучастичным потенциалом конечного
радиуса действия, причем это взаимодействие не приводит к образованию
двухчастичных связанных состояний. Благодаря разреженности газа
взаимодействие частиц можно рассматривать как малое возмущение в
идеальном газе. Таким образом, рассмотрение неидеального газа есть
следующий шаг в усовершенствовании модели реального физического газа. Мы
будем рассматривать неидеальный газ при крайне низких температурах. Для
таких систем важную роль играют два параметра с размерностью длины:
тепловая длина волны X и среднее расстояние между частицами v'!\ Эти две
характеристические длины могут быть одного порядка величины, но они
должны быть значительно больше радиуса действия потенциала взаимодействия
