Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
направлении. Таким образом, следует ожидать, что этот член даст
положительный вклад в магнитную восприимчивость системы.
Статистическая сумма
Статистическая сумма ¦) системы дается выражением
') Поскольку статистическая сумма (13.30) вычисляется, исходя из уровней
энергии, полученных в первом порядке теории возмущений, из вариационного
принципа (см. гл. 10, § 3) следует, что (13.30) меньше Spe~^ , где Н'
дается выражением (13.25). Здесь этот вывод тривиален, так как точные
собственные значения (13.25), как уже указывалось, являются энергиями
свободных частиц. Однако нельзя утверждать, что (13.30) меньше Spe~^, где
Н дается выражением (13.24), поскольку (13.24) не является эрмитовым
оператором и вариационный принцип к этому гамильтониану неприменим.
+ -(Л7+-(13.29)
Qn
4л ah2N+N.
-]}. (13.30)
§ 4. Неидеальный ферми-газ
311
Обозначения здесь те же, что и в (11.108). Действуя -при выводе
соотношения (11.108), получаем
jr\nQN = tg{N<).
g {NЛ) = Max (g' {N+)], g(NA = iiB О
_^|Л(ЛГ+) + Д(ЛГ- NJ].
Таким образом, N+ есть корень уравнений
кИ±п =0,
(13.33)
Уравнения (13.33) определяют точку максимума функции Допустим (это и на
самом деле верно), что величина N+ может оказаться не в точке максимума
функции g(/V,), а на границе области изменения (V+, т. е. /V+=0 или N+--
N. Будем иметь это в виду в дальнейшем. Пусть kTv(N) есть химический
потенциал идеального ферми-газа из /V бесспиновых частиц с массой т:
Можно переписать (13,33) i
причем v' (/V) = dv(/V)/WV. Пусть 2ЛМ
г^-^-1 (-1<г<+1).
Тогда (13.34) принимает вид
kT { V [^- (1 4- г)] - V [^- (1 - Г)] | = 2цВ + ~ 2kTr,
й.["(1+0]_,["(1-0]}_м;>Л
312 Гл. 13. Неидеальные газы при низких температурах
где v[jc] = v(jc), а I = |/г2яЛ2//гс?7'- тепловая длина волны.
Низкотемпературное и высокотемпературное приближения для v{Nxf 2)
получаются соответственно из (11.24) и (11.12). Находим
где zF - энергия Ферми, определяемая соотношением (13.28).
Если величина г известна, то магнитный момент единицы объема и магнитная
восприимчивость на единицу объема даются соответственно формулами
Спонтанная намагниченность
Рассмотрим вначале случай, когда В - 0. При абсолютном нуле температуры
уравнения (13.36) сводятся к
Уравнения (13.40) инвариантны относительно изменения знака г. Этого
следовало ожидать: в отсутствие поля понятия "вверх" и "вниз11 не имеют
абсолютного смысла. Поэтому достаточно рассмотреть случай г 0. Можно
решить уравнение (13.40) графически, обращаясь к фиг. 75, где изображена
функция (1 -" г)2/э - (1-г)а/" в зависимости от г. Нас интересует только
пересечение кривой, изображенной на фиг. 75, и прямой линии Можно видеть,
что при ? < 4/з пересечение имеет место только в точке г - 0. Если ?
лежит в области
то появляется дополнительное пересечение при г > 0, причем значение г > 0
соответствует максимуму, а значение г = 0 - минимуму. Если ? > 2/з, то
уравнение (13.40) не имеет решений. В этом случае максимум функции g(N+)
должен приходиться на точку /Vf=0 или на точку N+ - N, если только g(N+)
не является постоянной.
(13.38)
(13.37)
(13.39)
(1+г)2/*-(1 -г)!/з = ?г,
(13.40)
где
(13.41)
(13.42)
§ 4. Неидеальный ферми-газ
313
Поскольку функция g (N+ ) не равна постоянной и поскольку нет
никакого различия между/V+= О и Л7+=Л7, можно выбрать значение Л7+ = /V,
или г = 1. При абсолютном нуле температуры величина г как функция ?
выражается следующим образом:
(г , 4\ (спонтанная намагниченность отсут-
I 3 j ствует),
^ < 2 *) (частичная спонтанная намагничен- ^
г- 1 (С > 2''5) (насыщенная спонтанная намагни-
ченность).
Таким образом, при достаточно сильном отталкивательном взаимодействии (?
велико) система становится ферромагнитной. Критическое значение а, при
котором появляется ферромагнетизм (? = 4/3), определяется условием
kPa = ^-. (13.44)
Полученные результаты справедливы при абсолютном пуле температуры. При
малых, но конечных температурах мы должны также учесть второй член в
(13.37);. тогда вместо (13.40) получаем следующие уравнения:
" + "*•-<. -Г)"' - * (f)'[ дуЬут - ДТДрт] - ^ <'"•""
Пусть г (Т) есть решение уравнений при температуре Т. Нетрудно видеть,
что если т(0) = 0, то г (Т) = 0; если же г (0) > 0, то г (Г) < г (0).
Следовательно, если есть спонтанная намагниченность при абсолютном нуле,
то эта намагниченность уменьшается с ростом температуры. Спонтанная
намагниченность исчезает при некоторой критической температуре Тс
(температура Кюри); эта температура соответствует тому значению Т, при
котором оба уравнения (13.45) удовлетворяются для ? > 4/з 11 ^ = 0.
Находим, что
<13">
Формула (13.46) справедлива только при ?- 4/з<^~ 1- ибо при выводе ее
было использовано выражение (13.37). При высоких температурах подстановка
(13,38) в (13.36) приводит к единственному решению
г = 0
О < г < 1
314 Гл. 13. Неидеальные газы при низких температурах
г = 0, как и следовало ожидать. Качественно зависимость намагниченности
от температуры для ферромагнетика приводится на фиг. 90.
