Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
Надо отметить, что рассмотренная нами модель имеет физический смысл
только при kFa<^ 1. Поэтому случай ферромагнитного состояния, когда
должно выполняться условие kFa > л/2, остается вне области применимости
модели. Поучительно, однако, было
Ф и г. 90. Спонтанная намагниченность неидеального ферми-газа с
отталкивательными взаимодействиями.
выяснить на примере этой модели, каким образом пространственное
отталкивание между фермионами может увеличить ориентацию спинов в одном
направлении до такой степени, что в результате мы получаем ферромагнитное
состояние.
Парамагнитная восприимчивость
Рассмотрим теперь случай В > 0. Пусть г0(Г) есть значение г при В = 0, но
при произвольной температуре. Полагая
и считая %vB!\x малой величиной, можно решить (13.36) и получить
Предельные выражения для низких и высоких температур имеют вид
?L
KL
SF
kTc/eF
(13.47)
* "*(!+ го)"''1 + (1 - г0) ",/з - (4/л) kpa
Зцг/е Pv
при Т-> 0, (13.49)
kTv
при Т -> со. (13.50)
. Неидеальный ферми-га
Следовательно, постоянная Кюри равна
(13.51)
° - kv ¦
Отметим, что г0 зависит от kFa. Когда kFa превосходит некоторое значение,
г0 приближается к единице. Таким образом, как видно нз (13.48), в общем
случае х>0. Система либо ферромагнитна, либо парамагнитЕШ, но никогда не
бывает диамагнитной.
Рассмотрим теперь случай парамагнетизма, когда i тератур выполняется
равенство г0== 0. Это означает, ч
Следовательно, (13.48) принимает вид
T%_3kT__________________________________1
(13.52)
(13.53) "З.М,
Функция (Т%/С) при Т - 0 растет линейно, причем наклон кривой
определяется производной
316 Г л. 13. Неидеальные газы при низких температурах
При kT/ZF~\ функция достигает максимального значения, превышающего
единицу, а при Т -> оо стремится к единице. Качественно ход функции Т%/С
показан на фиг. 91. Если вычислить % для идеального ферми-газа, приписав
его частицам тот же самый магнитный момент, то получим
^И-?)г." = Т- <13-56>
Неидеальному газу, как показывает (13.55), соответствует больший наклон
кривой, что снова является следствием увеличения упорядочения спинов
благодаря отталкивательному взаимодействию. Имея в виду этот результат,
иногда говорят также, что неидеальный газ ведет себя как идеальный газ с
более высокой энергией Ферми1).
§ 5. НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ 2)
Уровни энергии
Рассмотрим разреженную систему из /V тождественных бесспиновых бозонов с
массой ш, содержащихся в ящике объема V при очень низкой температуре.
Бозоны взаимодействуют друг с другом посредством бинарных столкновений,
характеризуемых длиной рассеяния а, которая принимается положительной.
Уровни энергии в первом приближении по а могут быть получены из (13.25)
путем использования первого порядка теории возмущений.
Пусть невозмущенными волновыми функциями будут волновые функции свободных
частиц Ф", где индекс п обозначает совокупность чисел заполнения (...,
лр, ...}, причем яр есть число бозонов с импульсом р. Уровни энергии с
точностью до членов первой степени по а записываются в виде
Е'п = (Ф", 2в(г* -Гу)Ф"у
Второй член вычисляется в приложении А [см. (А. 36)]. Используя
полученный там результат, будем иметь
<'3.57)
Это выражение справедливо только при выполнении условий
(13.58)
§ 5. Неидеальный бозе-газ
317
где k -волновое число относительного движения любой пары частиц. Таким
образом, (13.57) теряет смысл, если в системе имеются частицы с большим
импульсом.
Рассмотрим сначала выражение (13.57). Чтобы найти из (13.57) энергию
основного состояния на одну частицу, нужно положить все "р = 0 для р ф 0,
a n0 = N:
здесь р-массовая плотность. Таким образом, энергия основного состояния
пропорциональна длине рассеяния а и массовой плотности и может быть
интерпретирована как сдвиг энергии частицы в "оптическом приближении",
когда влияние всех остальных частиц системы рассматривается как влияние
среды с некоторым показателем преломления. Эта интерпретация находит себе
следующее оправдание. В нашем приближении, когда форма потенциала не
играет роли, мы можем считать, что рассеивающий потенциал имеет любую
форму, если только он дает ту же самую длину рассеяния. Заменим потенциал
взаимодействия частиц очень мелкой, но очень протяженной прямоугольной
потенциальной ямой, такой, что длина рассеяния все еще равна а. В этом
случае частица, перемещающаяся в системе, подвергается воздействию
однородного потенциала соответствующей глубины. В результате получим
(13.59).
В возбужденном состоянии, в случае, когда частицы обладают исчезающе
малыми импульсами, энергия на частицу есть
Второй член дает наибольший отрицательный вклад, когда все возбужденные
частицы находятся в одном импульсном состоянии. Таким образом, можно
сказать, что пространственное отталкивание ведет к притяжению в
пространстве импульсов. Это является следствием свойств симметрии
волновой функции')¦ Притяжение в пространстве импульсов приводит также к
появлению энергетической щели в спектре (13.57). В этом можно убедиться
