Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
явных выражений приходится применять численные методы расчета.
В оставшейся части параграфа всюду считается, что активность г определена
лишь в области (Я3/(r)) -С ?\г (1). Приведем несколько эквивалентных
определений г:
g,k О) = -
(г) _ ус
(12.55)
В области Я3/ц > ,<та. (1) величина г равна 1. Уравнение состояния
получается из (9.71)
уз *./,(*) (*>*">•
(12.56)
kT 'у <D (*<*<).
где
(12.57)
j$ 3. Конденсация Бозе - Эйнштейна
293
Член К Мп(1 - z) в (9.71) при V ->оо равен нулю. Для v > ve это очевидно.
Для v < vc это также верно, поскольку (1 - г) -К-1. Сразу же видим, что
для v < vc давление Р не зависит от v. Изотермы представлены на фиг. 83,
а Я-Г-диаграмма - на фиг. 84.
Фиг. 83. Изотермы идеального бозе-газа.
Как и при рассмотрении конденсации газа в жидкость, можно считать, что на
горизонтальном участке изотермы система является смесью
Линия перехода:
Фиг. 84. Р-Г-диаграмма идеального бозе-га.
двух фаз. В данном случае эти две фазы соответствуют двум точкам А и В на
фиг. 83. Назовем эти фазы соответственно конденсированной фазой и газовой
фазой. Горизонтальный участок изотермы представляет собой область
фазового перехода между двумя фазами.
294
Г л. 12. Идеальный бозе-гаэ
Давление паров есть
po(.T)=-^-g5h(l). (12.58)
Дифференцируя это уравнение, получаем
dP0(T) Ъ *gbhW 1 Г 5 ^(1)1
dT 2 A.3 Tvc [2 ^(1) J ' (12.59)
При сосуществовании двух фаз газовая фаза имеет удельный объем vc, а
конденсированная фаза - удельный объем 0. Следовательно, разность
удельных объемов двух фаз равна
Av = ve. (12.60)
Уравнение (12.59) представляет собой уравнение Клапейрона, а скрытая
теплота перехода на частицу равна
gn 0) 5
L-^)2kT- <12'61>
Следовательно, конденсация Бозе-Эйнштейна есть фазовый переход первого
рода.
Другие термодинамические функции идеального бозе-газа выписаны
ниже. Для каждой термодинамической функции верхнее
выраже-
ние относится к области v > vc (или Т > Тс), а нижнее выражение - к
области v < vc (или Т < Тс):
§ 3. Конденсация Бозе - Эйнштейна
295
Теплоемкость представлена на фиг. 85. Вблизи абсолютного нуля Cv
стремится к нулю по закону ТЧг. Эта зависимость отличается от поведения
теплоемкости фотонного или фононного газов, которая при тех же
температурах стремится к нулю как Г3. Причина этого расхождения лежит в
различии спектров энергии частиц et = p2/2m и фотонов (или фононов) ep =
cp/h. При той же энергии Cv
Ж
Фиг. 85. Удельная теплоемкость идеального бозе-газа.
спектр частиц характеризуется более высокой плотностью состояний, чем
спектр фотонов или фононов. Вследствие этого имеется больше возможных
"способов" возбуждения частицы, так что теплоемкость оказывается больше.
Из (12.65) мы видим, что при Т = 0 энтропия 5 равна нулю в соответствии с
третьим законом термодинамики. Это означает, что конденсированная фаза
(которая существует при Т = 0) не имеет энтропии. При любой конечной
температуре вклад в полную энтропию дает только газовая фаза. Доля частиц
в газовой фазе в переходной области равна vlvc, или (Т/Tj\
Переписывая энтропию 5
в переходной области в виде
-я-=Ш'"!=КЬ (12-б7>
получаем энтропию на одну частицу в газовой фазе gb, (1) 5
S = T^)2k- <12-68>
Разность энтропий газовой и конденсированной фаз равна
As=s==-g^4*- (i2-69>
Сравнивая это с (12.61), получаем, что
L=Tt±s. (12.70)
Это соотношение показывает, что интерпретация конденсации Бозе -
Эйнштейна как фазового перехода первого рода самосогласована.
296
['л. 12. Идеальный бозс-газ
Единственной известной системой Бозе, существующей при низких
температурах, является жидкий Не4. При температуре 2,18° К Не4
претерпевает замечательный Х-переход, при котором теплоемкость
логарифмически расходится. Поскольку атомы Не4 подчиняются статистике
Бозе, естественно, возникает мысль, что этот переход представляет собой
конденсацию Бозе - Эйнштейна, видоизмененную наличием межмолекулярных
взаимодействий. Правильность такого предположения подтверждается тем
обстоятельством, что в жидком Не3, атомы которого подчиняются статистике
Ферми, подобного перехода не наблюдается. Кроме того, подставляя в
(12.50) массу атома Не4 и плотность жидкого гелия, мы получаем
температуру перехода ТС = 3,14°К, т. е. значение, имеющее правильный
порядок величины. Главное отличие между Х-переходом в жидком Не4 и
конденсацией Бозе - Эйнштейна идеального бозе-газа состоит в том, что Х-
переход не является переходом первого рода. Хотя трудно сомневаться, что
статистика Бозе имеет фундаментальное значение для Х-перехода в жидком
Не4, однако, удовлетворительная теория, учитывающая влияние
межмолекулярных сил, еще не построена.
§4. ДРУГОЕ РАССМОТРЕНИЕ КОНДЕНСАЦИИ БОЗЕ - ЭЙНШТЕЙНА
Статистическая сумма идеального бозе-газа равна
где ер = р2/2т, а суммирование производится по всем наборам чисел
заполнения {гар}, удовлетворяющим условию
Поскольку ео=0, число заполнения п0 не входит в экспоненту под знаком
суммы в (12.71). Можно вычислить сумму по состояниям следующим образом.
