Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
и Е0 = N (eh/2mc) В. Если поле В таково, что g < N, то некоторое число
частиц должно занимать более высокие уровни энергии. Чтобы найти общее
выражение для Ей как функции В, рассмотрим одночастичный спектр энергии,
схематически изображенный ниже:
j +2 ---------------------------------------- J
1 Частично
J + 1 > заполненный
----------------г---------------------------) уровень
I Полностью i заполненные уровни
На каждом уровне может поместиться g частиц. Предположим, что поле В
имеет такую величину, что каждый из j нижних уровней полностью заполнен g
частицами, (y'-f 1)-й уровень заполнен только частично, а более высокие
уровни пусты. Тогда
ТТТ > ~§7 > 7ТТ' (П -93)
270
Гл. 11. Идеальный ферми-газ
E0(B)=g'2izi + [N-(j+\)g] ?,Ч1 =
=-S'fl{*rS(i+ i)+iw-c/-+ D?] (у 4-1) j=
= ~B{g\jjи 4- 1)¦+ \ (У4-1 )]+[^-(У4-1)^](у +4)} =
= NB^i{(j + ^1L95)
В конечном счете имеем
\-ш^ <*>*>•
Ж?о(д)= ^^К2У + 3)-(У+1)(У + 2)х] (11.96)
I (742<"<7ТГ' У=0' 1-2"")-
где
(11.97)
Намагниченность на единицу объема и магнитная восприимчивость на единицу
объема даются соответственно формулами
\~Т~Ш
°* = \ 44^2(У+1ИУ + 2)*-(2У+3)1 (11-98)
I (1±J<X<1±T, J=0, 1,2,
10 (х> 1),
Х= Тг7'^'У+|,У + 2) (11.99)
I (71Т<91<4Т, / = 0. 1.2. ...).
Эти величины представлены на фиг. 74.
§ 5. Парамагнетизм Паули
271
Мы рассматривали только двумерное движение частиц. Учет рг приведет к
размазыванию скачков еЖ и %, но общий колебательный характер поведения еМ
сохранится. Этот интересный эффект, впервые рассмотренный Пайерлсом [13],
должен иметь место в металлах при низких температурах, так как известно,
что носителями заряда
° a i в"
Фиг. 74. Эффект де Гааза - ван Альфена.
в металлах в хорошем приближении являются свободные электроны. Такое
явление действительно наблюдается экспериментально - это так называемый
эффект де Гааза - ван Альфена [14] >).
§ 5. ПАРАМАГНЕТИЗМ ПАУЛИ
Гамильтониан нерелятивистского свободного электрона во внешнем магнитном
поле В дается выражением
2^г(р + 7 а)2-ц.В, (11.100)
где р- оператор спинового магнитного момента электрона [1 = per,
(11.101)
2тс '
причем а есть оператор спина. Величина р определяется в теории электрона
Дирака. Первый член в (11.100) приводит, как мы только что видели, к
диамагнетизму. Второй член отвечает за парамагнетизм. Обсудим этот эффект
отдельно 2).
') Более подробное исследование эффекта де Гааза -ван Альфена в металлах
см. в работе Латтинджера [15].
2) Мы следуем работе Паули [16].
272
Гл. 11 Идеальный ферми-газ
Будем рассматривать систему N свободных фермионов со спином Л/2, каждый
из которых описывается одночастичным гамильтонианом
Собственные значения оператора ст • В равны sB, где s = ± 1.
Следовательно, одночастичные уровни энергии выражаются формулой
Собственное значение энергии системы N частиц можно характеризовать
числами заполнения /iPi s одночастичных уровней ePi s
Тогда собственное значение энергии можно записать также в форме
<?*= 5Г expJ-pX(v+nP")-fi-+p^(^+-^_)J'(lLl08>
причем штрих у знака суммы означает, что сумма берется с ограничениями
(11.105). Сумму можно вычислить следующим образом. Выбираем сначала
некоторое произвольное целое число и суммируем по всем наборам {я+},
{я~| таким, что 2 яр = N4 и
2 Яр - N - N+. Затем суммируем по всем целым N + от 0 до N.
(11.102)
(11.103)
(11.104)
где
где
,= 0, 1.
Пусть
Пусть
(11.106)
Статистическая сумма равна
§ 5. Парамагнетизм Паули
273
Таким путем приходим к формуле
Qn= ^ ехР (2N+ - N)] 2 ехр (~ Р S ~Ш пр ] Х {яр+} ^ р J
xS"exp(-p2-fi-"p-). (П-ЮЗ) IV} 1 р ;
причем 2" означает суммирование с условием 2 - N+, a 2^-сум-
мирование с условием 2 n~ = N_=N - N . Пусть есть стати-
р р
стическая сумма идеального ферми-газа N бесспиновых частиц с массой от:
Q<°>== J exp^-pJ-g-^Jsse-^W. (11.110)
Тогда
QN = e-*BN 2 e2^BN+Q^ Q^_n+,
^ In Qn=-^B+± In V exp[2piifl)V+-M((V+)-pX(^_)l.
N+= 0
(11.111)
В последней сумме имеется N-{- 1 положительный член. Логарифм суммы равен
логарифму наибольшего члена суммы плюс члены порядка In N. Следовательно,
пренебрегая членами порядка N-1 In N, имеем
-^г In = р/ (N+), (11.112)
где
/ (ЛГ+) = Мах [/ (jV+)],
/2 N \ 1 (11Л13)
/(W+)==pS(-^- l}--L[A(Nt)+A(N-N+)].
Очевидно, Л7+ можно интерпретировать как среднее число частиц со спином,
направленным вверх. Если число Л7+ известно, то намагниченность на
единицу объема может быть найдена из формулы
274
Гл. П. Идеальный ферми-газ
Вычислим теперь N+. Условие (11.113) эквивалентно условию !)
[т]" ." -"¦
W_ - Г V |"В1 •115)
Пусть KTv(N) есть химический потенциал идеального ферми-газа N
бесспиновых частиц:
ЬТч№=?^Р-. (11.116)
тог*га"."-
Поэтому (11.115) принимает вид
kT(v(N+) - v(A7- Л7+)] = 2р,8. (11.117)
Это условие означает, что при данной температуре среднее число
частиц со спином, направленным вверх, таково, что их химический
потенциал больше химического потенциала частиц со спином, направленным
вниз, на величину 2р8. Решим уравнение (11.117) в двух предельных
