Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
(12.25)
/ <&з; шз = к ^5- <ш. Максимальную частоту оэт определяем из условия
/(<й)Жй = И-^г<*<о.
(12.26)
(12.27)
') Принимаем ради простоты, что с не зависит от вектора поляризации е,
§ 2. Фононы
285
откуда при v = V/N получаем
и m = c(^k- (12.28)
Длина волны, соответствующая равна
Хт = ~ = (4яг/)'\ (12.29)
т. е. примерно равна расстоянию между частицами. Это разумный
критерий, ибо для длин волн, меньших Хт, само представление
о волне смещений атомов теряет смысл.
Исследуем равновесные свойства твердого тела при низких температурах,
вычисляя статистическую сумму для соответствующего газа фононов. Энергия
состояния, в котором имеется п{ фононов т'-го типа, есть ])
т
= (12.30)
Статистическая сумма выражается формулой
в-2'-в1''|=ПТгг^г-
с,, I.,
Поэтому
lnQ= - JjlnO - e~№ai). (12.31)
Среднее число заполнения равно
Наконец, внутренняя энергия есть
3N 3N
<'2 33)
Переходя к пределу V -> со, получаем с помощью (12.26)
u"w/ агм>
') К выражению (12.30) надо добавить неизвестную постоянную, равную
энергии основного состояния твердого тела, но эта постоянная не влияет на
последующие результаты и может не приниматься в расчет.
Определим функцию Дебая D(x) формулой
• (*<СП,
(12.36)
и температуру Дебая ТD условием
Тогда
^-=3 kTD{%) =
kTD = h<s>m = he (*pj\
3kT{l-i-TL+ •••) (T^>TD),
3kT (^Гс/Г)] (T С TD),
(12.37)
(12.38)
где X = (TD/T). Следовательно, теплоемкость дается выражением
При высоких и низких температурах для теплоемкости соответственно
получаем
Кривая температурной зависимости теплоемкости представлена на фиг. 78;
она очень хорошо согласуется с результатами экспериментов.
При низких температурах Су стремится к нулю как Г3, что подтверждает
третий закон термодинамики. Когда температура значительно выше
температуры Дебая, решетка ведет себя чисто классически; действительно, в
этом случае Су ~ 3Nk. Для большинства твердых тел температура Дебая имеет
величину порядка 200°К. Именно поэтому закон Дюлонга - Пти Су як 3Nk
справедлив при комнатных температурах. При чрезвычайно высоких
температурах модель невзаимодействующих фононов уже неприменима, так как
решетка начинает плавиться. Плавление решетки происходит потому, что
силы, действующие между атомами решетки, не являются строго
гармоническими. В модели фононов это означает, что фононы не яв-
(12.40)
§ 2. Фононы
ляются совершенно свободными. Они должны взаимодействовать друг с другом,
а при высоких температурах это взаимодействие становится сильным.
Обсуждение дебаевской модели твердого тела служит хорошим примером
применения представления о фононах. При этом существенно, что фононы
хорошо представляют действительные возбуждения твердого тела. Причина
этого, как указывалось выше, состоит в том, что нормальные колебания
системы (в данном случае твердого тела) являются чисто гармоническими
колебаниями. Интуитивно можно
Фиг. 78. Удельная теплоемкость кристаллической решетки по теории
ожидать, что при достаточно низких температурах, когда в конденсированных
системах должны проявляться квантовые эффекты, фо-нонные возбуждения
могут иметь место не только в твердых телах, но и в жидкостях.
Действительно, звуковые волны могут существовать не только в твердых
телах, но и в жидкостях. Однако нормальные колебания в жидкости,
очевидно, не могут быть чисто гармоническими колебаниями, поэтому следует
ожидать, что в жидкости наряду с фононами возможны и другие типы
возбуждения, например вихревые потоки и турбулентность.
Подавляющее большинство жидкостей при понижении температуры переходит в
твердое состояние задолго до того, как начинают проявляться квантовые
эффекты. Поэтому для большинства жидкостей вопрос о том, насколько важную
роль играют фононные возбуждения, не имеет практического значения.
Единственным исключением является жидкий гелий, который остается жидким
вплоть до температуры абсолютного нуля. Следовательно, очень важно
выяснить, можем ли мы при очень низких температурах описывать жидкий
гелий как газ фононов и только таким образом. Эксперименты показывают,
что это действительно так для жидкого Не4, но не для жидкого Не3. С точки
зрения теории ') причина лежит в том, что атомы Не4 подчиняются
статистике Бозе.
Г л. 12. Идеальный бозе-газ
§ 3. КОНДЕНСАЦИЯ БОЗЕ - ЭЙНШТЕЙНА
Уравнение (9.71) представляет собой уравнение состояния идеального бозе-
газа из N частиц с массой т, содержащегося в объеме V. Чтобы подробно
исследовать уравнение состояния, надо найти активность 2 как функцию
температуры и удельного объема, решая второе уравнение (9.71), а именно
r=Tr*."(*> + T т^Г' <12'41>
где v = V/N и Я, = К2лЬЦткТ - •тепловая длина волны. Чтобы сделать это,
сначала надо исследовать свойства функции g,k(z), которая является
частным случаем общего класса функций
*"(*) = |j-F- (12.42)
Такие функции подробно исследованы [17] и протабулированы [18].
Очевидно, что для действительных значений 2, лежащих между О и 1, функция
g3 (z) является ограниченной положительной монотонно возрастающей
