Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
частиц или другой характерной длины задачи, за исключением размеров
сосуда.
Согласно квантовой механике, частица не может быть локализована в области
с размерами порядка ее длины волны де Бройля, которая в данном случае
может быть заменена тепловой длиной волны. Следовательно, в нашем случае
частица "размазана" по области, значительно превышающей радиус действия
потенциала взаимодействия. Вероятность найти некоторую частицу в пределах
действия потенциала другой частицы мала. Поэтому
а) эффективное взаимодействие частицы с другими частицами мало, даже если
потенциал взаимодействия имеет значительную величину;
б) детальный вид потенциала взаимодействия не имеет значения, так как
частица, будучи "размазанной" в пространстве, воспринимает только
усредненное действие потенциала.
Из квантовой теории рассеяния известно, что при малых энергиях рассеяние
частицы на потенциале не зависит от формы этого потенциала, а
определяется только одним параметром, зависящим от потенциала,- длиной
рассеяния а. Полное эффективное сечение рассеяния при малых энергиях
равно 4яа2. Поэтому, грубо говоря, а представляет собой эффективный
диаметр области действия потенциала. Можно также сказать, что при малых
энергиях рассеяние на потен-
§ 2. Метод псевдопотенциалов в задачах двух тел
301
циале происходит так же, как рассеяние на твердой сфере диаметром а.
Предшествующие рассуждения показывают, что при очень низких температурах
неидеальный газ может быть описан при помощи только трех параметров: X,
vv* и а. Задача, таким образом, сводится к разработке метода получения
всех термодинамических функций неидеального газа в виде разложений по
малым параметрам а/Х и а/т/А.
Более общая проблема разработки метода систематического вычисления
статистической суммы обсуждается в гл. 14. Последовательный
систематический метод, хотя и является точным, тем не менее требует
сложных вычислений. Метод, рассматриваемый в настоящей главе, имеет
ограниченную применимость, однако удобен для использования.
Чтобы достичь нашей цели, покажем сначала, что при вычислении
низколежащих энергетических уровней неидеального газа гамильтониан
системы может быть заменен эффективным гамильтонианом, в который явно
входят только параметры рассеяния, в частности длина рассеяния.
Статистическая сумма неидеального газа вычисляется на основе этого
эффективного гамильтониана. Этот метод, впервые предложенный Ферми
[21]1), называется методом псевдопотенциалов2).
§ 2. МЕТОД ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ В ЗАДАЧАХ ДВУХ ТЕЛ
Пусть имеется система из двух частиц, взаимодействие которых описывается
потенциалом конечного радиуса действия, не приводящим к образованию
связанного состояния. Цель метода псевдопотенциалов
состоит в том, чтобы выразить все уровни энергии системы
через сдвиги фаз при рассеянии на потенциале. Для конкретности сначала
примем, что потенциал соответствует потенциалу твердой сферы диаметром а.
Волновую функцию двух частиц можно записать в виде3)
ЧЧг" г2) = е'р Н(г). (13.1)
R=y(r,+ r2), Г = г2 - г,, (13.2)
а Р есть вектор полного импульса. Уравнение Шредингера в системе центра
масс имеет вид
(V2-(- k2) ф (г) = 0 (г>а), з з
___________ Ф(г) = 0 (т<а).
') В своем рассмотрении мы следуем работе Хуанга и Янга [22].
2) Другим способом введения эффективного потенциала при рассмотрении
систем с малой плотностью является метод суммирования .лестничных"
Диаграмм, учитывающих процессы многократного рассеяния. См., например,
Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Д з я л о ш и и с к и й И. Е., Методы
квантовой теории поля в статистической механике. М., 1962. - Прим. ред.
3) Опускаем спиновые координаты, если они имеются.
302
Г л. 13. Неидеальные газы при низких температурах
Потенциал твердых сфер является не чем иным, как граничным условием,
налагаемым на волновую функцию относительного движения ф(г).
Предполагается, что задано некоторое граничное условие при г->оо, однако
его конкретный вид для нас не имеет значения. Число k является волновым
числом относительного движения, а уравнения (13.3) определяют задачу на
собственные значения числа k. Если допустимые значения k известны, то
собственные значения энергии можно записать в виде
где М - полная масса, а р - приведенная масса системы.
Основная идея метода псевдопотенциалов состоит в учете граничных условий
типа твердых сфер путем перехода к неоднородному волновому уравнению.
Этот метод хорошо известен в электростатике: чтобы найти
электростатический потенциал в присутствии металлической сферы (при
некоторых заданных граничных условиях на бесконечности), мы заменяем
сферу соответствующим распределением зарядов по поверхности сферы и
находим потенциал этой фиктивной системы зарядов. Далее, можно заменить
поверхностные заряды соответствующей системой мультиполей в центре сферы.
Решая уравнение Пуассона с источниками, которыми являются указанные
мультиполи, получаем точный электростатический потенциал вне сферы.
Аналогичным образом в методе псевдопотенциалов граничное условие,
