Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 97

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 154 >> Следующая

следующим образом. Энергии очень слабо возбужденных состояний системы
приближенно определяются формулой
(13.59)
N
(А)24яарр j
Е'"~ 2&v+ N Ш2 4ла? ['¦1 - i
2
') См. задачу 13.3.
318
Гл. 13. Неидеальные газы при низких температурах
Согласно этой формуле, при возбуждении одной частицы из состояния с
импульсом р = 0 в состояние с бесконечно малым импульсом энергия
изменяется на конечную величину
Таким образом, одночастичный энергетический спектр отделен от энергии
основного состояния интервалом величиной Д. Эта энергетическая щель,
однако, получается только при вычислениях в первом приближении. Вычисляя
уровни энергии в более высоких приближениях теории возмущений'), мы
обнаруживаем, что энергетическая щель исчезает. Вместо нее происходит
только уменьшение плотности уровней сразу над основным состоянием,
которое приводит к тому, что одночастичный спектр /)2/2/и заменяется
фононным спектром ср, где с - постоянная. "Энергетическая щель", при
наличии которой плотность уровней сразу над основным состоянием равна
нулю, является только грубым приближением к истинному положе-
Предшествующее рассуждение показывает, что выражение (13.57) для уровней
энергии, хотя и не является точным, тем не менее передает много
качественных особенностей влияния отталкивательного взаимодействия между
бозонами. Воспользуемся этим выражением для вычисления статистической
суммы. Справедливость подобного вычисления будет обсуждаться по ходу
дела. Введем также дополнительное упрощение, а именно примем, что уровни
энергии описываются выражением
При очень низких температурах, когда возбуждено очень малое число частиц,
свойства модели с уровнями энергии (13.60) должны быть качественно теми
же, что и модели с уровнями энергии (13.57).
Статистическая сумма
Статистическая сумма определяется выражением
Д = 2яар.
(13.60)
2
.. (13.61)
§ 5. Неидеальный бозе-газ
319
Используя метод и обозначения гл. 12, § 4, записываем
Здесь С?(!) определяется выражением (12.76). Действуя далее так же, как
при выводе соотношения (12.80), получаем
В соответствии с (12.77) и (12.78) мы можем определить / (|) при помощи
параметрических уравнений
Чтобы найти /(?,), будем действовать следующим образом.
1. Из (13.66) находим | как функцию z для заданного значения W/v. Таким
образом, мы получим семейство кривых Е,(г), причем каждая кривая
соответствует определенному значению №/v.
2. При фиксированном V/v находим |, определяя максимум функции / (!)
вдоль соответствующей кривой | (z).
Кривые |(г) совпадают с кривыми, показанными на фиг. 86. Они вновь
представлены на фиг. 92. Вдоль кривой |(г) имеем
Последнее неравенство следует из того, что l/g- (z) > 0,74 и Таким
образом, /(!) есть уменьшающаяся функция | вдоль кривой |(г) только в том
случае, если при наименьшем возможном значении | на этой кривой df/d%^C
0.
Это имеет место при (№/v) < g,^ (1). Следовательно, f есть наименьшее
возможное значение |, а именно нуль (см, фиг. 92).
(13.62)
/(r)=Мах/(!),
/(Е) = -^-|2 + ^1п <?(|).
(13.63)
(13.64)
/ (I) ==-^ 12+?*./,(*)-О -?(1 -I) = ?*,(*)•
(13.65)
(13.66)
<0.
(13.67)
(13.68)
320 Гл. 13. Неидеальные газы при низких температурах
Если (№/v) > gy2(l), то функция /(g) проходит через максимум в точке z =
z0, который определяется условием df/d^ = 0. Используя (13.66) и (13.67),
находим
[-^Г <.?",( О]. -У*- [?>*,,<¦)].
(13.69)
(13.70)
где z0 есть корень уравнения
На термодинамической v-Г-плоскости линия
^ = ^/а(0 (13.71)
есть линия фазового перехода - конденсации Бозе - Эйнштейна.
Линия перехода совпадает, таким образом, с соответствующе линией для
идеального бозе-газа; то же относится к критически температуре Тс и к
критическому объему vc:
2л № 1
$ 5 Неидеальный бозе-газ
321
Явное решение уравнения (13.70) может быть получено в двух предельных
случаях:
-2?.(, --Д) (^"')' 03-74)
(4-"-1)- <1375)
В дальнейшем рассмотрим только первый случай, поскольку второй случай
соответствует kT <<^ Л, когда наша модель неприменима.
В первом порядке по а/Х и по aX2/v получаем
[ 0 (v>vc,T> Тс),
(K.,r<TJ, <13'76>
1 I Х^2)-1пг-ХГ (v>vc,T>Tc\
N^QN j ^-^(D-2-^iI1 -if1 -^)2] (v<vc,T<Tc),
(13.77)
где z является корнем уравнения
x = *•//*>• (1378)
Выражение (13.77) имеет очень простой вид. Оно показывает, что свободная
энергия равна свободной энергии идеального бозе-газа плюс второй член
выражения (13.60), где п0 заменяется величиной (п0) для идеального бозе-
газа.
Уравнение состояния
Из (13.77) получаем уравнение состояния
I p(°> + iSi (v>vc,T>Tc),
Р = \ " / 1 (13.79)
я,о,+ 2ЯЯЙМ + J_\ {v<v^ T<Te)i
где Р -давление идеального бозе-газа. Одна из изотерм показана на фиг.
93, а Р - Т-диаграмма - на фиг. 94. Конденсация Бозе - Эйнштейна
проявляется здесь как фазовый переход второго рода. При переходе через
точку конденсации теплоемкость уменьшается на величину
322
Гл. 13. Неидеальные газы при низких температурах
Эти результаты ие позволяют сделать вывод, что неидеальный бозе-газ с
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed