Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
налагаемое на ф(г), заменяется соответствующей системой источников в
точке г = 0. Однако вместо электростатических мультипольных потенциалов в
этом случае источники порождают рассеянные 5-волны, Р-волны, D-волны и т.
д.
Рассмотрим сначала сферически симметричные решения уравнений (13.3) (5-
волны) при очень малых энергиях (Л->0). Уравнения (13.3) принимают вид
Определим теперь "расширенную" волновую функцию фрасшМ* такую, что
(V2-J-й2)фрасш(г) = 0 (всюду, кроме точки г = 0), (13.6)
(13.4)
ф(г) = 0 (г<а).
Решение, очевидно, записывается следующим образом:
(.г > а), Ст < а).
(13.5)
§ 2. Метод псевдопотенциалов в задачах двух тел
303
с граничным условием
ФРасш(°) = 0- 0 3-7)
При /е -> 0 получаем
ФРасш('')->-(l - ~)х при г -у 0, (13.8)
где х есть постоянная, зависящая от граничных условий при г-у со. Можно
избежать явного использования этого граничного условия, записывая
* = [^('Wl,=0- (13.9)
что является непосредственным следствием (13.8). Чтобы устранить условие
(13.7), обобщим уравнение (13.6) таким образом, чтобы оно
распространялось и на точку г~ 0. Это нетрудно сделать, если рассмотреть
поведение выражения (V2k2) гррасш вблизи точки г = 0, учитывая (13.8).
Поскольку &->0, достаточно заметить, что в силу (13.8)
^2ФрасШ4яа6(г)х = 4яа6(г) (гфр;1СШ) при /- -> 0. (13.10)
Следовательно, при /е->0 функция фРасш(г) повсюду удовлетворяет уравнению
(V2 + /г3) фрасш (г) = 4яаб (г) (г фрасш). (13.11)
Оператор 6 (г)(д/дг)г представляет собой псевдопотенциал1). При малых k и
при г > а функция фрасш (г) удовлетворяет тому же уравнению и тому же
граничному условию, что и ф (г). Поэтому для г'>а имеем фрасш (г) = ф(г),
так что собственные значения k одинаковы в обоих случаях.
Уравнение (13.11) не является искомым точным уравнением, так как только
решения типа S-волны с малыми k совпадают с истинными решениями
физической проблемы. Чтобы получить уравнение для расширенной волновой
функции, которая бы в точности совпадала с ф(г) при г'^а, необходимо
обобщить уравнение (13.11) на произвольные значения k и решения, не
обладающие сферической симметрией. Это обобщение проводится в приложении
Б. Здесь нам достаточно указать, что в результате уравнение (13.11)
видоизменяется следующим образом.
а. Точный псевдопотенциал S-волны имеет вид
-т!кб(г)^Л' (13Л2)
') Вывод взят из книги Блатта и Вайскопфа (23].
304 Гл. 13. Неидсальные газы при низких температурах
где Т10 - сдвиг фазы S-волны при рассеянии на потенциале твердой сферы
-т^ = т=Ч1+т^2+ ¦¦¦]• (1злз>
б. В правую часть (13.11) добавляется бесконечный ряд
псевдопотенциалов, представляющих вклады Р-волны, .D-волны и т. д.
Псевдопотенциал /-й волны пропорционален а2/+1.
Эти результаты показывают, что уравнение (13.11) справедливо с 'точностью
до а2. Это значит, что если разложить волновую функцию ф(г) и собственное
значение k по степеням а, то из (13.11) мы получим правильные
коэффициенты при а и а2.
Дифференциальный оператор (д/дг) г в псевдопотенциале в (13.11) может
быть заменен единицей, если фрасш(г) не имеет особенности при г = 0, так
как
[? ('¦Фрае*)], = Фрасш (0) ¦+ [г ? %асш]г _о = фрасш (0). (13.14)
Если однако, фрасш(г) ->¦ Аг~1 -(- В при г 0, то
[^Г(^расш)]г=0=б- (13Л5>
Роль члена (д/дг) г иллюстрируется в задаче 13,1.
Обратимся теперь к методу псевдопотенциалов для случая двух частиц с
общим потенциалом взаимодействия конечного радиуса действия, не
приводящим к образованию связанного состояния. В этом случае (13.3)
заменяется уравнением
^l(V2 + ft2)l|,(r) = Cl(r)lHr) (13.16)
с некоторым данным граничным условием при со. В случае низких энергий
важную роль играет только рассеяние S-волны. Поэтому рассмотрим только
сферически симметричные решения. Тогда (13.16) сводится к уравнению
u"(r) + k4(r) = | v(r)u(r), (13.17)
где
u(r) = r^(r). (13,18)
По предположению, потенциал v (г) имеет конечный радиус действия и не
приводит к образованию связанных состояний. Следовательно, при л->ос
функция и (г) приближается к синусоидальной функции и(г)->и^(г) при г-
*со, (13.19)
где
ит (г) = гфю(г) = const (sin kr + tg r)0 cos kr), (13.20)
§ 2. Метод псевдопотенциалов в задачах двух тел
305
причем г|0, по определению, представляет собой сдвиг фазы 5-волны. При г-
>0
фю (г) -> const |l -ф- j при г-> 0. (13.21)
В общем случае % является функцией k. При малых k существует разложение,
аналогичное (13.13), известное под названием разложения по эффективным
радиусам действия:
^ctg lb=_l + Itfr0+ (13.22)
причем а называется длиной рассеяния, a rQ - эффективным радиусом
действия. Физический смысл длины рассеяния можно понять,
Фиг. 87. Волновая функция для отталкивательного потенциала с
положительной дли-
Ф и г. 88. Волновая функция для притягивающего потенциала с отрицательной
длиной рассеяния.
подставляя (13.22) в (13.20). При k->0 получаем (13.8). Как показано на
фиг. 87 и 88, длина рассеяния дается пересечением графика асимптотической
волновой функции гфси(г) с осью абсцисс. Для потенциала твердых сфер
