Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
отталкивательмым взаимодействием в общем случае испытывает переход
второго рода. Настоящая модель показывает только,
Фиг. 93. Изотерма неидеальвого бозе-газа с отталкивательным
взаимодействием частиц.
Р
что переход оказывается переходом второго рода, если пренебречь влиянием
членов более высокого порядка по а/Х и aX2/v.
Рассматривая фиктивную систему, статистическая сумма которой в точности
равна (13.61), можно убедиться, что точное уравнение
Задачи
состояния в большом каноническом ансамбле отражает переход первого
рода1). Этот результат, однако, имеет только академический интерес,
поскольку из самого вывода модели ясно, что она соответствует некоторой
физической системе только с точностью до величин порядка а.
Задачи
13.1 а. Найти все сферически симметричные решения и соответствующие
собственные значения уравнения
0?г + ^)'М'-) = о
в области между концентрическими сферами радиусами R и a (R > а) при
наличии граничных условий
ф (Я) = ф (а) = 0.
б. Разложить собственные значения k\ по степеням а вплоть до членов
15 в. Используя метод псевдопотенциалов, вычислить собственные значения
кгп с точностью до членов а2 и показать, что результат согласуется с
результатом, полученным в п. "б".
Литература. См. работу [22], § 2 (Ь).
13.2. а. Показать, что для неидеального ферми-газа, обсуждавшегося в § 4,
теплоемкость при постоянном объеме описывается формулой
С., й f дг 1 32nah2 Г / дг \2 д2г 1
-дг = - 2*-аг [7(Л>7'г'аг]+ Т [ (jr) +лал]'
б. Показать, что в отсутствие спонтанной намагниченности Су-(С")И,. газ
и, следовательно, утверждение, что неидеальный газ ведет себя как
идеальный газ с более высокой энергией Ферми, не является вполне
последовательным.
13.3. Рассмотрим два свободных бозона, помещенных в ящик объема V при
выполнении граничных условий периодичности. Пусть частицы обладают
импульсами р и q.
а. Написать нормированную волновую функцию фрч (г^ г2) как при р 4= q,
так и при р = q.
б. Показать, что при р i q
Ифч (г. rH2>lV(r' Г)Г-
в. Объяснить смысл утверждения: "пространственное отталкивание ведет к
притяжению в импульсном пространстве".
13.4. Для неидеального бозе-газа, рассмотренного в § 5, найти
теплоемкость при постоянном объеме вблизи абсолютного нуля.
') См. цитированную работу [25], § 2.
21*
324
Гл. 13. Неидеальные газы при низких температурах
Решение. Формула (13.77) непригодна для этого вычисления, так как
приближение (13.74) несправедливо вблизи абсолютного нуля. Надо
использовать выражение (13.75). Вблизи абсолютного нуля возбужденные
частицы не играют заметной роли ввиду наличия .энергетической щели*. В
соответствии с (13.60) внутреннюю энергию можно записать в виде
Применяя (13.69) и (13.75) и учитывая, что aX2/v 1, находим
где Д-.энергетическая щель*. При Т ->0 теплоемкость стремится к нулю
экспоненциально, что характерно для модели с .энергетической щелью*.
13.5. Для неидеального бозе-газа, рассмотренного в § 5, показать, что в
газовой фазе
Отсюда можно сделать вывод, что третий и последующие вириальные
коэффициенты, если они зависят от а, должны содержать члены порядка а2 и
Ру
kT
Глава 14 ГРУППОВЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
§ 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ГРУППОВОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
Многие системы, представляющие физический интерес, могут рассматриваться
классически. Большой класс таких систем описывается классическим
гамильтонианом для N частиц, имеющим вид
"=|4+s^ с4-*)
где р(- импульс /-й частицы, a = - г у |) - потенциальная
энергия взаимодействия между /-й и у-й частицами. Если система занимает
объем V, то ее статистическая сумма записывается в виде
да / "р (-р S|r - е 2>") • <14-2>
причем интегрирование по каждой координате гг проводится по объему V.
Интегрирование по импульсам выполняется непосредственно и дает
Q"(V> Т)=та IаШг ехр(~р 2wу) ¦ <14-3)
где l.-Y^n^/mkT-тепловая длина волны. Интеграл в (14.3) называется
конфигурационным интегралом. В случае потенциалов vtj обычного типа,
действующих между молекулами, систематический метод вычисления
конфигурационного интеграла состоит в разложении подынтегрального
выражения по степеням величины exp (-$otj) - 1. Эго ведет к так
называемому групповому разложению Урселла и Майера1). Как мы увидим в
дальнейшем, такое разложение применимо в том случае, когда система
представляет собой разреженный газ.
Введем для конфигурационного интеграла обозначение
ZN{ V, T)ssJ dir1 ... dV^exp/'-p ^ (14.4)
') Оригинальное изложение см. в книге Майера и Гепперт-Майер [26],
326
Г л. 14. Г рупповые разложения
тогда статистическая сумма может быть записана в виде
а для большой статистической суммы получим выражение
6 (г, V, Т) = V Т±. (14.6)
Определим, далее, величину }i-j равенством
е~^Ч = l+f,j. (14.7)
Качественная зависимость vr) и /,¦ - от межмолекулярного расстояния в
случае потенциала обычного типа приведена на фиг. 95. Мы видим, что
функция /(• всюду ограничена и становится пренебрежимо
малой в области, где | г,-- г у | превосходит радиус действия
межмолекулярного потенциала. С помощью функций ft]- конфигурационный
