Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
функцией г. Уравнению (12.41) удовлетворяют только значения г, лежащие в
интервале 0<2< 1.
Для сравнения напомним, что в случае статистики Ферми 0 z < оо. При малых
2 для вычисления g3/ (2) можно воспользоваться степенным рядом (12.42)
?Ч(2) = 2+^Г + ^Г+... . (12.43)
При z = \ производная этой функции расходится, но само ее значение
конечно
= Ётд=^(|-) = 2'612"-' (12-44)
где ^(х) есть дзета-функция Римана от х. Таким образом, для всех z между
0 и 1
^(2X2,612.... (12.45)
График g.^(z) приведен на фиг. 79.
Перепишем (12.41) в форме
-пг-= (12-46}
$ 3. Конденсация Бозе - Эйнштейна
289
Следовательно, величина {ng)/V положительна в том случа температура и
удельный объем таковы, что выполняется уел
4>^/г(1)'
Это значит, что конечная доля всех частиц занимает с р = 0. Это явление
известно под названием конденсации Эйнштейна. Условие (12.47) определяет
подпространство l динамическом Р-v - Г-пространстве идеального бозе-газа,
ствующее переходной области, в которой имеет место кон Бозе - Эйнштейна.
В дальнейшем мы увидим, что в этой
Ч(г]
2,6/2
(12.47)
уровень
систему можно рассматривать как смесь двух термодинамических фаз, из
которых одна состоит из частиц в состоянии р = 0, а другая из всех
остальных частиц с р^=0. Будем называть область (12.47) областью
конденсации. Она отделяется от остальной части Р--v-Т-просгранства
двумерной поверхностью
(12.4
данного удельного объема гическую температуру Гс:
kT.~-
v уравнение (12.48) определяет 1^(1), (12.49)
(12.50)
2л !Г/т
Как видно из (12.49), Тс есть температура, при которой тепловая длина
волны имеет тот же порядок величины, как и среднее расстояние между
частицами. Для данной температуры Г уравнение (12.48) определяет
критический объем
S'/Л1) '
(12.51)
19 К,- Хуанг
290
Гл. 12. Идеальный бозе-гйз
Таким образом, область конденсации определяется условиями Т < Те или v <
ve.
Чтобы найти z как функцию Т иг), решим уравнение (12.41) графически. При
большом, но конечном значении полного объема V путем графического
построения, показанного на фиг. 80, а, мы
2,612
Фиг. 80. а - графическое решение уравнения (12.41); б - активность 2
идеального бозе-газа, заключенного в конечном объеме.
получим кривую, приведенную на фиг. 80,6. В предельном случае V->со имеем
1 [?>*,0)1.
к3 з -I (12-52)
корень уравнения ?t/i(2) = - I - < g,k (1)1 ¦
Для (1) значение z должно быть найдено численными
методами. Соответствующая кривая приведена на фиг. 81.
f
Фиг. 81. Активность идеального бозе-газа, занимающего бесконечно боль-
Чтобы сделать это рассмотрение более строгим, необходимо отметить
следующее обстоятельство. Напомним, что уравнение (12.41) было получено
из условия
JL = ± V + М
V V Li v p) т у
§ 3. Конденсация Бозе - Эйнштейна 291
заменой суммы в правой части соответствующим интегралом. Этот интеграл,
очевидно, не изменится, если мы вычтем из суммы любое конечное число
членов. Поэтому в общем случае (12.41) надо заменить уравнением
V Xi 'T У у T у T J'
** И ^'-1 '
a l\ есть сумма квадратов трех \ Поэтому
^ 1 ^
равных одновременно нулю чисел. ->О при У->оо. (12.53)
r V (2яй)2 p2/j Это показывает, что уравнение (12.41) справедливо.
Исходя из (12.52) и равенства (n0) - z/(\-z), можно написать
(12.54)
Температурная зависимость величины (n0)/N представлена на фиг. 82. Мы
видим, что при Т < Тс конечная доля частиц системы занимает
Фиг. 82. Среднее число заполнения уровня с р=0.
уровень с р = 0. В то же время (12.53) указывает, что при р#0 величина
(n.\jN всегда равна нулю. Следовательно, положение вещей гаково. При Т >
Те ни один уровень не занят конечной макроскопической долей частиц.
Частицы распределены по различным уровням. При Т < Тс на уровне с р = 0
находится конечная доля частиц,
19*
292
Гл. 12. Идеальный бозе-газ
равная 1-(Т/Тс)°'г, а остальные частицы распределены по уровням с р=?0.
При абсолютном нуле температуры псе частицы занимают уровень с р = 0.
О конденсации Бозе - Эйнштейна иногда говорят как о "конденсации в
пространстве импульсов". Мы увидим, однако, что термодинамическим
проявлением конденсации Бозе - Эйнштейна является фазовый переход первого
рода. Если рассматривать только уравнение состояния, нельзя провести
различия между конденсацией Бозе - Эйнштейна и обычной конденсацией газа
в жидкость. Поместив частицы идеального бозе-газа в гравитационное поле,
можно в области конденсации осуществить и пространственное разделение
двух фаз совершенно так же, как при обычной конденсации газа в жидкость
[19]. Термин "конденсация в пространстве импульсов" подчеркивает только
тот факт, что причиной конденсации Бозе - Эйнштейна являются свойства
симметрии волновой функции, а не какие-либо междучастичные
взаимодействия.
Соотношение (12.52) показывает, что все термодинамические функции
идеального бозе-газа будут иметь различную аналитическую форму п области
конденсации и вне этой области. Только в области конденсации эти
аналитические выражения достаточно просты. Вне этой области для получения
