Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
'/з от плотности энергии в ящике, так как хотя все плоские волны дают
вклад в плотность энергии, но только '/з волн дает вклаД в давление
излучения на стенку ящика.
Чтобы вывести закон U-¦ Г4, вспомним, что, согласно второму закону
термодинамики, для всех систем справедливо следующее соотношение:
("),-г(Я-л <|2Л9>
Поскольку PV-UjZ и Р зависит только от температуры, мы получаем
ж)Т = ър=т^а{-1">- <12'20)
Применяя (12.19), находим
_ Т du 1
" - 3 dT 3
du . dT
- = АНГ'
следовательно,
и = СТ\ (12.21)
Постоянная С не может быть получена из классических соображений.
Если бы фотон обладал сколь угодно малой, но конечной массой покоя, то он
бы имел три независимых направления поляризации
$ 2. Фононы
вместо двух1). Тогда наряду с поперечными фотонами существовали бы и
продольные фотоны. В этом случае формула Планка должна измениться на
множитель 3/2. Опыт показывает, что справедлива формула Планка,
записанная в виде (12.14); это значит, что либо фотон не имеет массы
покоя, либо если имеет, то взаимодействие между продольными фотонами и
веществом столь незначительно, что за время проведения эксперимента по
исследованию закона Планка тепловое равновесие между продольными фотонами
и веществом не успевает установиться.
§ 2. ФОНОНЫ
Фононы представляют собой кванты поля звуковых волн в макроскопическом
теле. Теоретически они вводятся совершенно так же, как фотоны при
квантовании электромагнитного поля. Выше указывалось, что
электромагнитное поле в полости может быть разложено в ряд Фурье по
плоским волнам. При этом гамильтониан электромагнитного поля разлагается
на сумму членов, каждый из которых соответствует одному гармоническому
осциллятору. Квантами энергии этих гармонических осцилляторов и являются
фотоны. Аналогично гамильтониан твердого тела, которое построено из
атомов, образующих кристаллическую решетку, может быть аппроксимирован
суммой членов, каждый из которых представляет гармонический осциллятор,
соответствующий нормальному колебанию системы атомов2). В классической
теории нормальное колебание есть волна деформации плоскостей решетки, т.
е. звуковая волна. В квантовой теории нормальные колебания порождают
кванты, называемые фо-нонами.
Из сказанного следует, что квантовое состояние кристаллической решетки,
близкое к основному состоянию, должно характеризоваться числами имеющихся
фононов с различными импульсами. Следовательно, при низких температурах
твердое тело можно рассматривать как объем, содержащий газ
невзаимодействующих фононов.
Поскольку фонон является квантом некоторого гармонического осциллятора,
он имеет характеристическую частоту со( и энергию Ьщ. Состояние решетки,
характеризующееся наличием одного фонона, соответствует звуковой волне,
записанной в виде
ееПкт-оч (12.22)
>) Если бы фотон имел массу покоя, то с помощью преобразования Лоренца
можно было бы перейти к системе координат, где фотон покоится. Тогда
можно произвести второе преобразование Лоренца с произвольным поворотом,
так что спин будет ни параллелен, ни антипараллелен импульсу.
2) В той мере, в какой можно пренебречь ангармоническими силами,
действующими между атомами и вызывающими при достаточно высокой
температуре плавление кристаллической решетки.
284
Г л. 12. Идеальный бозе-гаэ
причем волновой вектор к имеет величину
(12.23)
где с - скорость звука1)- Вектор поляризации е не обязательно
перпендикулярен волновому вектору к. Таким образом, вектор поляризации
имеет три независимые компоненты, соответствующие одному продольному
колебанию -волне сжатия и двум поперечным колебаниям -волне сдвига. Так
как в возбужденном состоянии гармонический осциллятор может иметь любое
число квантов, фононы подчиняются статистике Бозе, причем их полное число
не сохраняется.
Твердое тело, состоящее из N атомов, имеет 3N нормальных колебаний.
Поэтому должно быть 3N различных типов фононов с характеристическими
частотами
Значения этих частот зависят от свойств решетки. В эйнштейновской модели
решетки принимается, что все частоты равны между собой.
Усовершенствованием этой модели является модель Дебая, который принял,
что для определения частот (12.24), и только для этой цели, можно
приближенно рассматривать твердое тело как упругий континуум объемом \Л
Частоты (12.24) являются в этом случае 3N нижними нормальными частотами
такой системы. Поскольку упругий континуум имеет непрерывное
распределение нормальных частот, нас интересует число нормальных
колебаний, частоты которых лежат между оз и Чтобы найти это число, надо
знать граничные
условия для звуковой волны в упругой среде. Выбирая граничные условия
периодичности, находим, как обычно, что к = (2л/1)п, где L - V1', а
вектор п имеет компоненты 0, ±1, ±2, . . . Интересующее нас число
нормальных колебаний с частотами между оз и оэ + с?оэ равно
Множитель 3 появляется из-за того, что возможны три направления
поляризации. Поскольку 6 = оз/с, имеем
"и "2............
(12.24)
