Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
изображения зарядов также не аддитивны. Например, изображения точечного
заряда, расположенного перед двумя взаимно ортогональными проводящими
плоскостями, не сводятся просто к двум изображениям, возникающим
относительно каждой проводящей плоскости в отдельности.
Если потенциал взаимодействия частиц не является потенциалом типа твердых
сфер, но имеет конечный радиус действия и не приводит к образованию
связанных состояний, то вышеприведенные рассуждения могут быть перенесены
и на этот случай. Эффективный гамильтониан для неидеального газа из N
тождественных частиц с массой m можно записать в виде
(13-24)
где а - длина рассеяния. Гамильтониан, записанный в этой форме,
справедлив как для фермионов, так и для бозонов. Собственные значения
такого гамильтониана являются правильными собственными значениями для
неидеального газа из твердых сфер с точностью до величии порядка а2. Для
неидеального газа в общем случае они будут правильными с точностью до
величин порядка а.
Заметим, что гамильтониан (13.24) не является эрмитовым оператором,
поскольку (д/дг)г - неэрмитов оператор. Это не должно нас беспокоить, так
как из самого вывода гамильтониана (13.24) следует, что он имеет
действительные собственные значения, которые дают приближенные
собственные значения реальной задачи. Неэрми-товость оператора отражает
тот факт, что его собственные функции совпадают с собственными функциями
реальной задачи только в асимптотической области. Однако из-за того, что
гамильтониан
(13.24) неэрмитов, мы не можем искать его собственные значения
вариационными методами.
В настоящей главе мы диагонализируем (13.24) только с точностью до
величин порядка а. Это значит, что псевдопотенциалы в (13.24) должны
рассматриваться как достаточно малые возмущения, чтобы можно было
ограничиться только первым приближением теории возмущений. Таким образом,
операторы (д/дг)г будут всегда действовать на невозмущенные волновые
функции свободных частиц,
§ 4. Неидеальный ферми-газ
которые регулярны в начале координат. Следовательно, можно считать, что
операторы (д/дг) г равны единице, и использовать гамильтониан
= ••• + ^ 2 в(г,-гу). (13.25)
i<i
Надо подчеркнуть, что этот гамильтониан может быть использован только для
вычислений в первом порядке теории возмущений. Нам нет необходимости
стремиться к точной диагонализации гамильтониана (13.25), так как его
точные собственные значения совпадают с собственными значениями для
системы свободных частиц, ибо, как известно, потенциал типа трехмерной 6-
функции не дает рассеяния.
§ 4. НЕИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ ')
Уровни энергии
Рассмотрим разреженную систему /V тождественных фермионов с массой т и
спином /)/2, содержащихся в объеме V при очень низких температурах.
Фермионы взаимодействуют друг с другом на основе парного взаимодействия,
характеризуемого длиной рассеяния а. Уровни энергии в первом приближении
по а могут быть получены из (13.25) в первом порядке теории возмущений.
В качестве невозмущенных волновых функций примем волновые функции
свободных частиц Фп, где индекс п соответствует совокупности чисел
заполнения {..., яр, s, ...j, a nPi s есть число фермионов с импульсом р
и спиновым квантовым числом s. Уровни энергии с точностью до величин
порядка а выражаются формулой
?"=(ф", я'фл)=2ир.'ж-ь-н?~(ф- _2й(г'-г>>ф")-
Второй член вычисляется в приложении А [см. (А. 41)]. Используя
полученный там результат, находим
?* = Si&K+ + 'V)+" <13-26>
р
где я* и N± определяются соотношениями (11.106).
Псевдопотенциал, применявшийся при выводе выражения (13.26), справедлив
только при &|а|<<^1, где k - волновое число относительного движения любой
пары частиц системы. Следовательно, выражение (13.26) справедливо для
низколежащих уровней энергии только при условии
kF\a |<1, (13.27)
') См. работу Хуанга [24].
310 Г л. 13. Неидеальные газы при низких температурах
где kp - волновой вектор частицы на уровне Ферми:
(13.28)
причем Tj - VjN. Таким образом, условие (13.27) эквивалентно требованию
малой плотности, а именно (ajv'1*) 1.
Нетрудно понять физический смысл выражения (13.26). Достаточно
рассмотреть случай отталкивательного потенциала, когда а > 0. При
заданном распределении по импульсам энергия минимальна, когда N+N_=Q, т.
е. когда все спины направлены в одну сторону. Это следует из принципа
Паули, согласно которому волновая функция относительного движения двух
частиц с параллельными спинами должна быть днтисимметричной по
координатам. Следовательно, эти частицы имеют малую вероятность
находиться друг около друга, что уменьшает их отталкивательную энергию
взаимодействия. Случай а < 0 может быть рассмотрен аналогичным образом.
Примем теперь, что а > 0, причем каждый фермион имеет собственный
магнитный момент величиной р. В присутствии однородного внешнего
магнитного поля В уровни энергии системы даются выражением
Заметим, что эта формула отличается от (11.107) только наличием второго
члена, который обусловливает ориентацию спинов системы в одном
