Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 85

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 154 >> Следующая

только две независимые ориентации: параллельно или антипараллельно
импульсу фотона. Фотон в определенном спиновом состоянии соответствует
плоской электромагнитной волне с правой или левой круговой поляризацией.
Можно, однако, взять линейную суперпозицию двух таких фотонных состояний,
чтобы получить состояние с линейной поляризацией, которое не является
§ J. Фотоны
279
собственным состоянием спина. В дальнейшем мы будем рассматривать линейно
поляризованные фотоны.
Для наших целей достаточно знать, что фотон с частотой со имеет следующие
свойства:
Энергия = hiо,
Импульс = йк, |к| = -?-, (12.1)
Вектор поляризации = е, |е|=1, к-е = 0.
Такой фотон соответствует1) плоской волне электромагнитного излучения с
электрическим вектором
Е(г, 0 = ееНк'г-м<>. (12.2)
Направление вектора е есть направление электрического поля. Усло-вие Е'к
= 0 является следствием поперечности электрического поля, т. е. V'E = 0.
Таким образом, для данного к существуют два и только два независимых
вектора поляризации е. Если наложить на Е(г, t) граничные условия
периодичности в кубе объемом V = 7Д то получаем следующие допустимые
значения к;
ь _ 2яп
i ' (12.3)
п - вектор с компонентами 0, ±1, ± 2, . .. .
Следовательно, число допустимых значений импульса между k и
k-\-dk равно
^4 nk*dk. (12.4)
Фотоны подчиняются статистике Бозе, поскольку они неразличимы, причем
одними и теми же значениями кие может обладать любое число фотонов.
Вследствие того, что атомы могут поглощать и испускать
фотоны, число фотонов в абсолютно черной полости не является
заданным.
Полная энергия такого состояния электромагнитного поля, в котором имеется
"к, * фотонов с импульсом к и поляризацией е, дается суммой
E{nk,t}=phwnKt, (12.5)
где
(0 = с | к|, "к,? = 0, 1, 2.............. (12.6)
Поскольку число фотонов не задано, статистическая сумма есть
Q= ^ (12.7)
1"ь. ¦}
') Точный смысл этого утверждения объясняется в любой книге по квантовой
теории электромагнитного поля.
Гл. 12. Идеальный бозе-газ
без каких-либо ограничений на (як, е). Вычисление Q выполняется
тривиально
"= V "хр(-р2 .)-11 Ё "Ilrdw
k' ' 1 k,t п 0 к,. ^28)
In Q = - 2 In (1 - е-Р*") = - 2 2 In (1 - е~№).
Среднее число заполнения для фотонов с импульсом к независимо от их
поляризации дается формулой
<"'> = -?7?rl"°-'?=br- <129>
а внутренняя энергия есть
U=- ^-lnQ = ^/ko(rtk>. (12.10)
Чтобы найти давление, представим Q в форме
."Q-2Sl,[l-exp(-^:l''')]'
откуда получаем
P=|wlnQ= 3F2'J"^k>-
Сравнивая это уравнение с (12.10), приходим к уравнению состояния
PV = ^U. (12.12)
Вычислим U в предельном случае И->оо. Из (12.10), (12.9) и (12.3) имеем
и = -(tm)- Fампк**?- = ^*- f
(2л)3 J е^ск-\ лЧ3 J
Поэтому внутренняя энергия на единицу объема есть
^ = J rfcoa (со, Г), (12.13)
и (со, Г) = -?j • (12.Н)
s 1, Фотоны
281
Это известная формула Планка, дающая плотность энергии фотонов с частотой
о при температуре Т. Интеграл (12.13) может быть вычислен в явном виде,
что дает
U Д" (kT)'
V 15 (fic)3 '
(12.15)
Отсюда следует,
) теплоемкость на единицу объема равна __ АпЧ'Т*
°v ~~ 15 фсУ '
(12.16)
: число фотонов
Теплоемкость не ограничена при Т-*оо, в полости не ограничено.
Как (12.14), так и (12.15) могут быть проверены путем экспериментального
исследования излучения, выходящего через бесконечно
Нш,Т)
. 77. Закон излучения Планка.
малое отверстие. Излучение покидает полость со скоростью с, так что
полная энергия, излучаемая в 1 сек через единицу площади отверстия, равна
;<Г)=^ = ЛЩ§1. (12Л7)
Мы получили закон Стефана - Больцмана. Универсальная постоянная
л2й4/15Л3с3 известна под названием постоянной Стефана - Больцмана.
Анализируя исходящее излучение с помощью частотных фильтров, можно
измерить поток энергии излучения с частотой о
/(со, Т) - си (со, Т). (12.18)
Эта функция показана на фиг. 77. Таким образом, частота, соответствующая
максимуму излучения, возрастает с увеличением температуры. Площадь под
кривыми на фиг. 77 увеличивается пропорционально 7'4. Все эти выводы
находятся в прекрасном согласии с экспериментом.
282
Г л. 12. Идеальный бозе-газ
Надо отметить, что, хотя вид функции а (а, Т) может быть получен только в
квантовой теории, уравнение состояния PV = U/3 и тот факт, что U-Т4,
получаются уже в классической физике.
Уравнение состояния выводится следующим образом. Рассмотрим сначала
плоскую волну с электрическим и магнитным векторами Е и В. Средняя
плотность энергии равна
у(?2 + В2)= Ж.
Радиационное давление плоской волны, равное среднему потоку импульса,
есть _
| Е X В | = Е2.
Следовательно, плотность энергии численно равна этому давлению.
Рассмотрим теперь некоторое количество изотропного излучения в кубическом
ящике. Поле излучения можно считать некогерентной суперпозицией плоских
волн, распространяющихся во всех направлениях. Относительная
интенсивность плоских волн зависит только от температуры, определяемой
стенками ящика. Радиационное давление на какую-либо стенку ящика равно
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed