Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 99

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 154 >> Следующая

интеграл может быть записан в виде
ZN<y, Т) = J <рГ1 . . . d*rN Д (1 + /"), (14.8)
где подынтегральное выражение есть произведение l/2N(N- 1) функций,
каждая из которых соответствует отдельной паре частиц. Разлагая это
произведение, находим
ZN{V,T) = JVv, ... tfV,v 11 +(/12 + /13+ ...) +
+ (/12/13 +/12/14+ ...)+¦•¦]• (14.9)
§ 1. Классическое групповое разложение
32?
Каждому члену п разложении (14.9) удобно сопоставить некоторый граф,
определяемый следующим образом: N-частичный граф есть совокупность /V
отдельных кружков с номерами 1, 2, /V
и некоторого числа линий, соединяющих различные пары кружков.
Если различные пары, соединяемые линиями, суть пары а, (5 у,
то граф представляет член
Jr/V, ... rf3r"/B/B ... /Y, (14.10)
входящий в разложение (14.9).
Пусть некоторая совокупность пар (а, (5, .... у) соединена линиями в
данном графе, тогда замена этой совокупности
на совокупность пар [а', |V у'}, не тождественную
[а, (5, ..., у), приводит к графу, который должен рассматриваться как
отличный от первоначального (хотя интегралы, представляемые
соответствующими графами, численно одинаковы). Например, для N = 3
приведенные ниже графы являются различными:
а следующие графы являются тождественными:
(c)-(c) (r) (c)-(c) (r)
Можно рассматривать граф как наглядный способ изображения интеграла
(14,10). Например, для /V = 10 можно написать
[I tt <н")
Тогда можно утверждать, что
ZN есть сумма всех различных /V-частичных графов. (14.12) Доказательство
этого утверждения очевидно.
Каждый граф может быть в общем случае подразделен на более мелкие
элементы. Например, граф (14.11) является произведением пяти множителей,
а именно
[I @(r) I^J =
Следовательно, анализ структуры Zv должен упроститься, если сна^ чала мы
определим основные элементы, из которых может состоять произвольный граф.
328
Г л. 14. Г рупповые разложения
Определим /-группу как /-частичный граф, в котором к каждому кружку
подходит по крайней мере одна линия, причем каждый кружок соединяется
прямым или косвенным образом со всеми остальными /-1 кружками.
Например, следующее образование есть
6-группа:
с/3г, • • * </%/12/23/м/)бЛб (14.13)
Определим групповой, интеграл bt(V, Т) равенством
bt(V, Т) == у X (сумма всех возможных/-групп). (14.14)
Нормирующий множитель выбран так, что
а) Ь{(у, Т) есть величина безразмерная,
б) предельное значение ?,(Т)~ lim b,(V, Т) конечно.
V + oo
Свойство "6" следует из того обстоятельства, что функция f tj существенно
отлична от нуля в конечной области, так что
единственным
интегрированием в /-группе, приводящим к множителю V, является
интегрирование по "центру тяжести" системы из / частиц1). Приведем
примеры групповых интегралов:
Ь, =±m=yjd3r, = l , (14.15)
ьг = dV'2 = (ИЛ6)
b3 = iTAv[(2^+J\) + (l3s) + (i&)] • <1417>
Всякий /V-частичный граф есть произведение некоторого числа групп,
причем, если число /-групп есть mt, то
2)lm, = N. (14.18)
Однако заданный набор целых чисел (т;), удовлетворяющих условию (14.18),
определяет некоторый граф не единственным образом, поскольку
') Строгое доказательство существования it следует из результатов,
полученных в приложении В; см. также литературу, цитированную в гл. 15,
§3.
§ I. Классическое групповое разложение
а) существует, вообще говоря, много способов построить /-группу,
например
б) существует много способов распределения частиц по группам, например
Таким образом, набор целых чисел {га,) определяет некоторую совокупность
графов. Обозначим сумму всех графов, соответствующих набору {га,},
символом 5 {га,J. Тогда
ZN= 2 ^ {га,}, (14.19)
1"/}
где сумма распространяется на все наборы {га,}, удовлетворяющие условию
(14.18).
По определению, сумма 5 {га,} может быть получена следующим образом.
Вначале выпишем произвольный /V-частичный граф, в котором число 1-групп
равно га,, число 2-групп равно га2 и т. д., например
{[О] -[О]} {[0-0] -[О-О]}*
Всего в (14.20) входит ровно N кружков; этим кружкам можно приписать
номера 1, 2 N произвольным образом. Можно выписать
много других графов типа (14.20), изменив, например, выбор некоторых 3-
групп (всего существует четыре топологически различные формы 3-группы).
Можно также изменить нумерацию кружков в (14.20); при этом мы опять
получим новый граф. Если сложить все эти возможности, мы получим 5{ra,J.
Таким образом.
Гл. 14. Групповые разложения
Смысл этой формулы таков. Каждая скобка содержит сумму по всем /-группам.
Если провести мультиномиальные разложения всех скобок . .\mi, то
суммируемое выражение само представится суммой большого числа членов,
причем каждый член содержит в точности N кружков. Сумма 2
распространяется по всем различным
способам, которыми можно перенумеровать эти кружки от 1 до N.
Но каждый граф есть интеграл, величина которого не зависит от способа
нумерации кружков. Следовательно, величина 5 (тг) равна числу членов в
сумме 2. умноженному на значение любого
члена суммы. Найдем число членов в сумме 2. заметив, что
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed