Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
упрощающее предположение, что в линейной суперпозиции для | VP") надо
учитывать
Г л. IS. Бозе-газ из твердых сфер
только те состояния | я), в которых конечную долю N составляет только
число заполнения нижнего состояния я0, а никакие другие числа заполнения
конечной доли от N не составляют1). Эти состояния | я) образуют
подпространство 5 гильбертова пространства системы. По порядку величины
можно различать три класса матричных элементов (19.36), взятых между
состояниями из 5. Нетрудно видеть, что матричные элементы класса I
пропорциональны /V, матричные элементы класса II пропорциональны У N, а
матричные элементы класса III вообще от N не зависят. Для получения
результата в низшем порядке нового метода теории возмущений мы
пренебрегаем веема недиагональными матричными элементами, за исключением
матричных элементов класса I.
Матричные элементы класса I описывают бинарные столкновения, при которых
обе частицы или в начальном, или в конечном состоянии имеют импульс,
равный нулю. Следовательно, разложение | содержит только такие состояния
|я), которые получаются из 10) в результате повторных столкновений этого
типа. Наиболее общее состояние | я) из подпространства 5 характеризуется
следующими числами заполнения:
Уровень Число заполнения
о /v-2/t
к^о
к Д <19-37)
- к
где импульс к пробегает все возможные значения, кроме нулевого. Когда
каждое число Д независимо пробегает все значения
(к - 0, 1, 2,----------------------- (19.38)
мы получаем все подпространство 5. Отметим, что по предположению любое
число /к пренебрежимо мало по сравнению с N. Таким образом, область
изменения значений (19.38) должна, вообще говоря, обрываться при
некотором значении, гораздо меньшем N. При /V-> со эта граничная точка
стремится к бесконечности так, что
0 при /V-> со (к ф 0). (19.39)
Это предположение лежит в основе нового метода возмущений.
') Это важное предположение и основанный на нем метод теории возмущений,
изложенный ниже, были введены в теорию неидеального бозе-газа Н. Н.
Боголюбовым [Journ. Phys. (СССР), 9, 23 (1947); Вестник МГУ, № 7, 43
(1947)]. - Прим. ред.
§ 3. Новый метод теории возмущений
461
Пусть |...,/к, ...)- некоторое состояние типа (19.37). Согласно (19.34),
получаем
Справедливость этого показана ниже [см. (19.70)]. Выражения (19.40) и
(19.41) содержат все отличные от нуля недиагональные матричные элементы
гамильтониана, которые должны быть удержаны при вычислениях в самом
нижнем порядке теории возмущений.
Чтобы завершить построение нового метода теории возмущений, дадим также и
диагональные матричные элементы гамильтониана, которые должны быть
учтены. В соответствии с (19.17) диагональный матричный элемент для
состояния с числами заполнения {гак} есть
Таким образом, для любого состояния из подпространства 5 получаем
В согласии с (19.42) мы пренебрегаем последним членом в сравнении со
вторым. Второй член, хотя он и значительно меньше первого,
= ^v(N~ 2 'р+!)('*+D ~ ^ + 1), (19.41)
где к ^ 0
где принято,
(19.42)
Второй член
может быть записан в виде
462
Гл. 19. Бозе-газ из твердых сфер
отбрасывать не следует, так как он является существенным. Поэтому примем
<...,/k,...|tf|...,/k, ...> = ^±^+82! J Zkj. (19.45)
Формулы (19.40), (19.41) и (19.45) полностью определяют схему теории
возмущений. Отметим, что в этих формулах рассматриваемые состояния
нумеруются квантовыми числами (/к) при к ф 0. Рассмотрим теперь
эффективный гамильтониан Яэфф, определяемый формулой
2Ияэфф=^+ [ (А2 +^) <а* ++ s"-0] ¦
k^° (19.46)
Очевидно, что по отношению к состояниям из подпространства 5 этот
оператор имеет те же самые матричные элементы, что и даваемые формулами
(19.40), (19.41) и (19.45). Наименьшее собственное значение Яэфф дает
энергию основного состояния в нижнем порядке нового метода теории
возмущений. Гамильтониан (19.46) представляет собой невозмущенный
гамильтониан нового метода теории возмущений ]).
До сих пор мы не учитывали вклада от оператора (д/дг)г, входящего в
псевдопотенциал. Это можно сделать, добавляя правило, согласно которому в
самом нижнем собственном значении (19.46) надо либо вычесть член,
пропорциональный а2 [ввиду (19.27)], либо ввести следующее правило
вычисления суммы 2' в (19.46):
2'2/.)• <'9">
к^о г-*° V к^О /
§ 4. ОСНОВНОЕ И СЛАБОВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ Энергетический спектр
Эффективный гамильтониан (19.46) допускает непосредственную
диагонализацию. Однако таким образом можно получить только основное
состояние и состояния, лежащие вблизи основного, так как приближение,
ведущее к (19.46), быстро теряет свою справедливость для более высоких
возбужденных состояний. В дальнейшем мы обсудим, насколько далеко от
основного состояния можно еще использовать выражение (19.46).
') Гамильтониан типа (19.46) впервые получен в цитированной выше работе
Н. Н. Боголюбова. Оператор /7эфф получается из гамильтониана Боголюбова
заменой фурье-компоненты потенциала взаимодействия v (k) на 4па/т и N9 на
