Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 142

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 154 >> Следующая

гелии, если к потенциалу взаимодействия твердых сфер добавим потенциал
притяжения.
') Детальное обсуждение затрагиваемых в этом параграфе вопросов можно
найти в статье Хуанга [61].
Г. ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А СИСТЕМА N ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
§ 1. ДВА РОДА СТАТИСТИК
Система N тождественных частиц характеризуется гамильтонианом Н, который
инвариантен относительно перестановки координат любых двух частиц. Любая
волновая функция системы может быть представлена в виде линейной
суперпозиции собственных функций Ч*1,, гамильтониана
HxVn(q^ qN) = Enl?n(q1, .... qN), (А. 1)
где q-t обозначает совокупность всех координат /-й частицы, включая,
помимо пространственных, также и спиновые и все другие внутренние
координаты, если они есть. Для исследования общих свойств симметрии любой
волновой функции достаточно исследовать общие свойства симметрии xVn.
Пусть действие оператора на волновую функцию состоит в перестановке qt и
qp
<^Ч'"(. qt qj, . . .)= хРп(. . ., qj, .... qh . . .). (А.2)
По определению, имеем
= Н. (А. 3)
Поэтому
Н(^Ч\) = Еп(^?"). (А. 4)
Следовательно, если Ч4,, есть собственная функция Н, принадлежащая
собственному значению Еп, тогда zPWп также является собственной функцией
Н, принадлежащей тому же собственному значению.
Возможно также, что функция <^4*п пропорциональна Чгл. Если это так, то
<5?>24fn = 4rn. Следовательно, коэффициент пропорциональности равен либо
-f-1, либо -1, т. е. функция ЧР1,, либо симметрична, либо антисимметрична
относительно перестановки координат двух частиц
&'Чп=±Чп. (А. 5)
Предположим, что для данной системы выполняется соотношение (А. 5).
Естественно возникает вопрос, могут ли одни функции ЧРЛ быть
484
Приложение А
симметричными, а другие антисимметричными? Отпет состоит в следующем.
Ничто не препятствует этому, но в этом случае симметричные волновые
функгии {Ч^'} и антисимметричные волновые функции (Ч^) образуют дна
класса волновых функций, которые не смешиваются в смысле "правила
суперотбора" *)
6Vj,-))=0. (А. 6)
где 6 - любой оператор, инвариантный относительно перестановки частиц.
Поскольку в дальнейшем всегда будут рассматриваться только такие
операторы (в противном случае частицы не были бы тождественны), множества
{Ч,(л+|} и {Ч^-'} образуют две раздельные системы волновых функций, не
влияющие друг на друга. Поэтому достаточно рассматривать систему, для
которой все Ч/л являются либо симметричными функциями Ч^'1 \ либо
антисимметричными функциями Чг("_).
Согласно (А. 5), две волновые функции, отличающиеся только перестановкой
координат двух частиц, соответствуют одному и тому же состоянию системы.
Это имеет прямое отношение к правильному подсчету состояний при заданной
энергии. Поэтому говорят, что (А. 5) определяет статистику системы. Знак
плюс относится к статистике Бозе, а знак минус - к статистике Ферми.
Свойство (А. 5) не является единственным, согласующимся с (А. 4). В общем
случае может быть линейной комбинацией собственных функций 4fj, Ч^,
которые все соответствуют одному соб-
ственному значению Еп. В этом случае собственное значение Еп обладает
внутренним вырождением, которое не может быть снято введением
взаимодействий между частицами, так как всякое добавляемое к
гамильтониану возмущение 6 должно обладать свойством = 6.
Из сказанного выше вовсе не следует невозможность существования таких
внутренних вырождений. Однако природа, по-видимому, не терпит вырождений,
так как все опытные данные до сих пор подтверждали соотношение (А. 5) как
единственно возможное. Если в будущих экспериментах будут найдены
частицы, не подчиняющиеся соотношению (А. 5), то потребуется построение
новых типов симметрии, кроме симметрий бозонов и фермиоиов.
Накладывая на физические системы требование лоренцевой ковариантности,
можно показать [62], что, согласно формализму релятивистской квантовой
теории поля, частицы с целым спином должны подчиняться статистике Бозе, а
частицы с полуцелым спином -ста-
(туГЛ = + С5"-!6^Ф(->) = (С5"Ч'Н1, = - (ф(+>, 64'!f)).
что и требовалось доказать (см. работу Паули [62]).
Система N тождественных частиц
485
тистике Ферми !). Эти результаты находятся в согласии с
экспериментальными данными.
Надо заметить, что, хотя связь между спином и статистикой одновременно
является экспериментальным фактом и представляет собой теоретическое
следствие квантовой теории поля, эта связь не имеет большого значения для
вопросов, рассматриваемых в данной книге. В целях математической простоты
мы часто рассматриваем бесспино-вые фермионы, что вовсе не является
математической бессмыслицей, пока мы не касаемся теории элементарных
частиц.
§ 2. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ N ЧАСТИЦ Система N частиц
Рассмотрим систему N тождественных частиц с массой т, заключенную в куб
объема V. Ради простоты будем считать эти частицы бесспиновыми. Положения
N частиц определяются набором координат (rj, То, tn], что иногда коротко
будем записывать в виде (1, 2, ..., /V}. Гамильтониан системы есть сумма
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed