Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
ранее, можно игнорировать оператор (д/дг) г, проводя в соответствующем
месте процедуру вычитания, как разъяснено в предшествующем параграфе.
Существенные для нашей задачи диагональные матричные элементы имеют вид
V,. !,,¦¦¦ \H\h. i 2 *!(/.+Ч+
+1г{№-т-i [(&"- 27)"
-¦sr " [<2-й-жЕ Л] +
причем членами, подчеркнутыми волнистыми линиями, надо пренебречь.
Поэтому принимаем
Можно представить (19.89) и (19.90) матрицами, в которых строки I столбцы
соответствуют состояниям |1], 12, Согласно (19.88),
h является диагональной матрицей
Матрица с диагональными элементами (19.89) и недиагональными элементами
(19.90) имеет вид
§ 5. Высшие возбужденные состояния
475
В матрице (19.92) невозмущенному состоянию |/) соответствуют строка или
столбец, в которых все 1к - 0, т. е. /к-я строка или /к-й столбец.
Поэтому нас интересует только /к-е собственное значение этой матрицы.
Чтобы найти это собственное значение, заметим, что оно совпадает с /к-м
собственным значением оператора
"зФФ=1^{-^[1+(1-У2] +
+ Е [(к2¦+- -u)] j • (!19-93)
Это и есть новый эффективный гамильтониан. Гамильтониан (19.93)
непосредственно диагонализуегся, так как он имеет тот же вид, что и
(19.46). Собственные значения его равны
+ У'Щ + 2>/*+-!"..) ¦
(19.94)
причем (ак) есть набор независимых целых чисел 0, 1, 2, ... Нас
интересует то собственное значение, для которого
ak = /k. (19.95)
Все остальные собственные значения должны быть отброшены.
Таким образом мы показали, что невозмущенное состояние | /) переходит в
возмущенное состояние, содержащее (1 -\)N фононов, причем /к фононов
имеют импульс к. Возмущенная энергия равна
2щ?(/к} -l)2+ +
+ (19.96)
(19'97)
k^tO
Энергия зависит от чисел заполнения фононных состояний (/к)
нелинейным образом. При ?,= 1 выражение (19.96) сводится к
получен-
ному ранее результату (19.54), однако из условия l~- 1 следует, что
ЬЪ/.-"-
кфО
476
Гл. 19. Бозе-газ из твердых: сфер
Таким образом, результат (19,54) справедлив только и том случае, когда
полное число возбужденных фонопов исчезающе мало по сравнению с N.
Скорость звука теперь дается формулой
с = ]/ (19.98)
т. е. зависит от числа присутствующих фонопов. Если число возбужденных
фононов столь велико, что 1 = 0, то с = 0. В этом случае энергия (19.96)
сводится к энергии свободных частиц плюс постоянный поправочный член:
?(1 = 0) = V IL.fk +(i?!?)yv. (19.99)
Возбуждения в этом случае уже не являются фомомами и представляют собой
одночастичные возбуждения. При 1 = 0 основной уровень полностью истощен.
В связи с этим возникает вопрос о применимости метода при 1 = 0. Однако
результат (19.99) совпадает с результатом вычисления первого приближения
(19.18). Сдедова-
системы в нижнем порядке по параметру \! a:,jv. Все рассмотренные
действия они переходят' в сосни я свободных частиц, для которых
числа заполнения (нк) удовлетворяют следующим требованиям:
а) n0 - t,N, где с, есть фиксированное число между 0 и 1;
б) -^-->0 при N >оо (к 0);
в) 2 "к = (1 -i).v.
Ясно, что эти состояния не включают все позможные состояния системы. В
частности, в них не входит пи одно состояние, в котором конечной долей
всех частиц занят какой-либо уровень, отличный от к = 0. Такие состояния
могут быть разбиты на два класса:
а) состояния, для которых як = LV при некотором данном к, причем ни одно
другое число заполнения не составляет конечной доли N\
б) состояния, для которых по крайней мере два различных числа заполнения
составляют конечную долю N.
Первый класс фактически охватывается нашим рассмотрением, поскольку
состояния этого класса могут быть получены 1:3 рассмотренных состояний
при помощи преобразования Галилея, как это
tf 6. Критическое обсуждение
477
обсуждалось в гл. 18, § 5. Второй класс должен быть исследован
специально. Можно показать, что состояния этого класса имеют очень
высокие энергии. Поэтому в статистической механике эти состояния,
вероятно, не играют роли.
§ 6. КРИТИЧЕСКОЕ ОБСУЖДЕНИЕ
Вычисления двух последних параграфов имеют вполне определенные границы
применимости. Чтобы вычисления уровней энергии и волновых функций были
справедливы, должны выполняться условия
(19.100)
ka Cl,
где k - волновое число фонона. Первое условие связано с тем
обстоятельством, что У a3jv является параметром разложения для энергии
основного состояния, а второе условие возникает ввиду того, что
использовался только псевдопотенциал с S-волной.
Чтобы убедиться в том, что параметр Уa3jv действительно пригоден для
наших вычислений, надо исследовать поправки высшего порядка к энергии
основного состояния [т. е. "остаток" в (19.32)]. Это можно сделать,
проводя преобразование (19.48) в первоначальном гамильтониане (19.11) и
рассматривая остающиеся недиагональные члены при помощи обычной теории
возмущений. Если выписать поправку к энергии (19.55) в виде обычной суммы
по промежуточным состояниям, то путем анализа размерностей можно
показать, что она пропорциональна величине
^^гчг-
Это, казалось бы, показывает, что разложение по степеням \fa3/v имеет
