Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
оператора кинетической энергии К и оператора потенциальной энергии 2:
H = K+Q,
К=~Ш&?+ ¦¦¦ +*лг)- (А. 7)
2=2 vn< (г.-> г,-).
i < i
Стационарная волновая функция Т (1, ..., N) системы удовлетворяет
уравнению Шредингера
HV(l, . . ., N) = EV(l /V) (А. 8)
и нормирована на единицу в объеме V
(У, ?)= J А0ЧЧ1, .... А7) = 1, (А. 9)
где интегрирование по каждому г,- идет в объеме V. Волновая функция
симметрична или антисимметрична относительно перестановки любой пары
координат г(, Гу в зависимости от того, являются ли частицы бозонами или
фермионами. Чтобы определить функцию 'У из (А. 8), необходимо задать
граничные условия для нее. Можно,
¦) Требование, что частицы со спином '/г должны подчиняться статистике
Ферми, является прямым следствием теории относительности. Согласно этой
теории, частицы со спином '/2 должны описываться уравнением Дирака. Тогда
статистика Ферми является необходимой для построения дырочной теории этих
частиц.
Приложение А
например, наложить граничные условия периодичности так, что чч..., г"
r, + nl. ...) (f=l N), (А.10)
L = v\
п - вектор с компонентами 0. + 1, +2.......... (А. 11)
При V->oo энергия на частицу Е/N, определяемая из (А. 8), оказывается не
зависящей от граничных условий.
Полная система волновых функций
Удобно ввести полную систему волновых функций N частиц, с помощью которой
любая волновая функция N частиц может быть получена как линейная
суперпозиция этих волновых функций. Опишем такую полную систему функций.
Определим вначале произвольную полную систему одночастичных волновых
функций иа(г) таких, что
J d3ra^(r) ир(г) = 6аз, (А. 12)
где - символ Кронекера:
[ 1 (а = р), б"" = \0 (а=*р). (АЛЗ)
Потребуем далее, чтобы функции и0(г) удовлетворяли граничным условиям
периодичности. Волновую функцию N частиц можно построить, производя
симметризацию или антисимметризацию произведения
*0,(1) *0,(2) ¦¦¦ иа"№.
где иа(1) = иа(г!) и где (а^ а2 ад,} есть набор индексов, которые играют
роль квантовых чисел, характеризующих волновую функцию N частиц. Пусть
Фа(1 Л0 = Фв1 (г, Гд,) =
где Р - некоторая перестановка N элементов, переводящая упорядоченное
множество {1, 2 N} в другое упорядоченное множество
Система N тождественных частиц
(Я1, Я2 ЯЛ/) и где 6Р=± 1 в согласии со следующим правилом:
Ьр = 1 (бозоны),
[ + 1 (Я четное) (А. 15)
б' = \-1 (Я нечетное) <ФеРми0НЫ>-
Перестановка Я является четной или нечетной в зависимости от того,
эквивалентна ли она четному или нечетному числу последовательных
перестановок пар частиц. Очевидно, что перестановка индексов at изменяет
самое большее знак (А. 14) и не ведет к новой независимой волновой
функции. Для фермионов (А. 14) эквивалентно определению
|"а,0) "аа0) ¦••Х.О)
Ф0о ло=-4=И.......................................
"сг (Л/) . . . UaN (N)
Отсюда видно, что для фермионов функция Фа обращается в нуль,
если в наборе aN встречаются одинаковые квантовые числа
Из ортогональности функций иа(т) непосредственно следует, что
(фа> фе)= f dZNrO*n(\ Л/)Фв(1 Л/) = 0,
если |aj, .... ад,) и (Pj, ..., Рд,)-неодинаковые наборы.
Следовательно, (А. 14) определяет ортогональную систему волновых функций.
Вычислим теперь норму Фа:
(фа, Фа) =
= / Ж S S ["Р", (1)^(1)]... m и (A/)J.
Р Q
Для фермионов Я = Q, так как все а, различны. Поэтому
(фа. фо)=1 (фермионы). (А. 17)
Для бозонов аг не обязательно все различны. Предположим, что яв из чисел
Oj aN имеют значение а. Тогда
(Ф.,ф")=ПК|) (бозоны); (А. 18)
эта величина не обязательно равна единице.
Целые числа па называются числами заполнения одночастичных уровней а.
Очевидно, имеем условия
ла = О, 1 N (бозоны), (А. 19)
па= 0, 1 (фермионы).
. (А. 16)
Приложение А
Вместо [аи .... aN] мы с равным успехом можем характеризовать
волновую функцию набором чисел заполнения (га0, п }. Поэтому
введем также обозначение Ф", определяемое равенством
Ф" = Фа, (А. 20)
где п обозначает набор {п0, л,,
При желании можно использовать вместо Фа волновую функцию
V?
("аО
которая нормирована к единице как для бозонов, так и для фермио-нов. Это
не является, однако, ни необходимым, ни удобным. Причина этого состоит в
следующем. Предположим, что нам необходимо вычислить шпур некоторого
оператора. Можно записать
Sp б = 2 (Фа. 6Фа), (А. 22)
(")
где сумма распространяется на все различные наборы {alt ..., <%}. Эту
сумму удобно вычислять, производя суммирование по каждому а( независимо,
а затем учитывая тот факт, что члены, получающиеся при перестановке чисел
аг, не должны рассматриваться как новые члены суммы. Иными словами, можно
записать
П К!)
sp6= У 6ф;).
Но в соответствии с (А. 21) имеем
sp 6=ж S
Таким образом, гораздо удобнее использовать волновые функции Ф0,
определяемые соотношением (А. 14).
Волновые функции свободных частиц
В качестве иа(т) полезно выбрать одночастичную волновую функцию свободной
частицы с импульсом р. Квантовым числом в этом случае является именно р,
так что имеем
Система N тождественных частиц
Допустимые значения р определяются граничными условиями периодичности
