Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 146

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 154 >> Следующая

гу)ф(г)]фСУ).
Следовательно, и для бозонов, и для фермионов имеем
[ф С/Х "!=[-?- *5 + X (/)] ф (У), (А. 58)
X (/)= / <*3/"Ф+ (г) г" (г, гу) ф (г). (А. 59)
Система N тождественных частиц
Оператор X (у) обладает следующими тривиальными свойствами:
[ф(0, *(/)] = (r),уФ(0Ф(Л. (А. 60)
А-(/)|0> = 0 (01X (у) = 0. (А. 61)
Подстановка (А. 58) в (А. 57) дает ">+
+ ФС/-') А"СЛФ(У) ... ф(^)|^>. (А. 62)
Передвигаем оператор X (у) влево, используя при этом (А. 60):
[ф (1) . . , ф (у - 1) АТ U) Ф (j) ¦ ¦ • Ф(А0] =
= [ф(1) • • • Ф U-2) X (у) ф (у- 1) , , . ф (Л/)] •-(- j [ф (1) ¦ ¦
• (АО] =
= [ф(1) ... Ф U - 3) Л" (у) ф (у - 2) ... ф(Л7)] +
+ ((r)у-2. у+(r)у-1./)№(!) ...Ф(Л7)]= ... =
= [^АГ(У)+2 [ф(1) ¦ • • Ф (АО]¦ (А. 63)
Подставляя (А. 63) в (А. 62) и используя (А, 61), получаем ">¦
что и требовалось доказать.
Для удобства практических вычислений введем полную ортонор-мированную
систему одночастичных волновых функций {"0(г)}:
Jd>ra*(r)up(r) = 6ap. (А. 64)
Тогда можно разложить полевые операторы ф(г) и ф+ (г) следующим образом:
Ф(г) = 2 ааиа(т),
+ ^ (А-65> Ф (г)=2"(г).
Приложение А
где в согласии с (А. 43) аа и являются операторами, удовлетворяющими
следующим перестановочным соотношениям:
Фермионы
К- aJJ- 6аЗ К- ар)- 6а|3
[аа, а"] = 0 {аа, а^) = О (А. 66)
К *5] = ° К *В+) = °
Отсюда непосредственно следует, что оператор а+аа имеет следующие
собственные значения:
я =ata = 1°' U 2> (б030НЫ)' (А. 67)
а а а \ 0,1 (фермионы).
С помощью аа и записываем
^onep =2<V (А-68)
H=lk^a |-V2lP>a^ + Y ? (apMY^(aaa/(ava,),
a, В a, В, Y, >¦
(A. 69)
где
(a|-V^|p>=-/dWaV=v
r (A. 70)
(ap|tr|Y^ = J d3r2< (1)"; (2) w12"v (1)(2).
Пусть дан набор целых чисел {я0, я, ] такой, что каждое
число па является возможным значением а+аа в соответствии с (А. 67).
Определим состояние (я) следующим образом:
I я)Ня0, пь ...) = ся [(*+)-• (at)". .. • ] 10), (А. 71)
где С" - нормировочная постоянная, выбираемая так, что (я|я)=1
Сп=-- 1-----------¦ (А. 72)
у П<п"!>
Можно показать, что для бозонов
Система N тождественных частиц
499
для фермионов')
в"| .... Па, ...> = gg^| .... Я*- 1. в+|.... па, = "а+1, ..
причем ?а принимает значение -(- 1 или - 1 в зависимости от того,
является ли 2 четным или нечетным целым числом. Оператор аа
называется оператором уничтожения для одночастичного состояния а, а
оператор называется оператором рождения для одночастичного состояния а.
Как для бозонов, так и для фермионов имеем
в+ва|я)=-яа|я). (А75)
Поэтому
ЛГ0",р|я>=(21яв)|я>- (А. 76)
С помощью (А.73) и (А. 74) любой матричный элемент {п\Н\п') может быть
тривиальным образом получен из (А. 69).
Согласно (А. 55) и (А. 56), полная система волновых функций Фл,
определенная соотношением (А. 14), может быть представлена также
^0 Д0 = у=-(0|ф(1) ... ф(А0|я). (А. 77)
Следовательно,
(Ф"> [-^27?+1;(r)/У]ф--)==(я|//|я'>. (А. 78)
При использовании этого соотношения могут быть, в частности, тривиально
получены результаты (А. 33) и (А. 38).
Приложение Б ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛ
Рассмотрим задачу двух тел, для которой уравнение Шредингера в системе
центра масс имеет вид
здесь v(r) - центральный потенциал с конечным радиусом действия, не
приводящий к образованию связанных состояний. Мы хотим найти уравнение
Шредингера с потенциалом, отличным от нуля только при г = 0, и имеющее те
же самые собственные значения k, что и уравнение (Б. 1).
По предположению, v(r) стремится к нулю достаточно быстро при г-> оо, так
что
где ф^, (г) - асимптотическая волновая функция, являющаяся решением
уравнения
Постоянные А1т зависят от граничных условий при большом г, а функции
Ji(x) и nt(x) являются сферическими функциями Бесселя1), Число tg т);,
представляющее собой сдвиг фазы /-й парциальной волны при рассеянии,
является функцией k Оно зависит ог формы потенциала v(r) и предполагается
известным. Если v (г) есть потенциал для частиц типа твердых сфер
диаметром а, то
|1(у2 + ?2)ф(г) = гЧгЖг);
(Б. 1)
(V2+ А2)фоо(г) = 0 (г > 0). Таким образом, для г > 0 можно записать
(Б. 2)
где Kira(0, ф) - нормированная сферическая функция и ¦фг(tm) (kr) = Alm ljt
(kr) - nt (kr) tg ЛЛ-
(Б.З)
(Б. 4)
') См., например, книгу Шиффа [2], стр. 97,
Псевдопотенциал
501
Очевидно, что число к в (Б. 2) совпадает с числом к, входящим в (Б, 1).
Чтобы найти возможные значения к при заданном граничном условии для (Б.
1), будем действовать следующим образом. Опреде-лим фю(г) для всех г с
помощью (Б. 2), найдем уравнение, которому ф^Дг) удовлетворяет всюду, и
решим его при том же граничном условии, что и (Б. 1).
Чтобы найти уравнение, которому ф^Дг) удовлетворяет повсюду, вычислим
величину (V2 Д- ^(YЯсно, что всюду, кроме точки г = 0, мы имеем (V2-f
к2)(У1п$1т) = 0. Поэтому достаточно рассмотреть поведение ф/т вблизи г =
0. Используя известные асимптотические формулы
ЛМ-,я + 1," "Р" -"
"pH ,-о. <Б'5)
где (21 + 1) !! = 1 • 3 • 5 ... (2/ + 1), находим ф(га(*л)-
>л'В;т{1+(2/+1)[(2/+ l)||]J_^L_J при л-О, (Б. 6)
Ашк1
В1т- (21 + 1) !1 • (Б-7)
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed