Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
N. - Прим. ред.
$ 4. Основное и слабовозбужденные состояния
463
Для диагонализании гамильтониана (19.46) используем линейное
преобразование, впервые примененное Боголюбовым [59]:
К 1-4
1 , + х ^19-48)
ак= --- (*к - ак*_к),
У1 - 4
ftk = -¦ - (ак -)- ак4к).
У 1-4
1 / + х (19'49)
Ьк = -(ак + ака _к),
У i-4
где ак, по предположению, есть действительное число, меньшее единицы.
Очевидно Ьк и Ьк удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что
ак и ак, а именно
[Ьк, *к,] = [/.?, ht\ = о,
[*k.*M=<w. (,9-50)
Поэтому Ьк и Ьк могут быть интерпретированы соответственно как операторы
уничтожения и рождения, подобно ак и ак. Подставляя (19.48) в эффективный
гамильтониан (19.46), нетрудно видеть, что Нэ диагонализируется, если мы
выберем
ak=l+x?-xV^+2. 09.51)
Очевидно, что число ак действительно и меньше единицы, как мы
предположили ранее.
После выполнения процедуры вычитания [в соответствии с (19.47)]
гамильтониан в диагональной форме записывается в виде
2/иЯ6
= + *2+i^L_
(,9-52)
к^о
где вычитается член (-i/2)(8na/-u) k~ . Он компенсирует член порядка а2 в
разложении величины k Yk216ла/х>. Если не производить вычитания, то сумма
по к будет расходящейся. Теперь она
4Ь4
Г л. 19. Бозе-газ из твердых сфер
конечна и при V ->¦ оо может быть преобразована в интеграл
Из перестановочных соотношений (19.50) следует, что собственные значения
bit>k равны 0, 1, 2, . . . Следовательно, нижнее собственное значение
Я9фф есть
Это подтверждает формулу (19.33) и дает значение С.
Как указывалось в начале параграфа, эффективный гамильтониан правильно
описывает в том же приближении и возбужденные состояния, лежащие
непосредственно над основным состоянием. Из (19.54) можно видеть, что
возбужденные состояния характеризуются числами заполнения ЬкЬк = 0, 1, 2,
... невзаимодействующих элементарных возбуждений с энергиями (k/2m) Y К1
+ 16яв/г>. При очень малых k энергии возбуждений равны (k/2m)Y 16яa/v.
Следовательно, эти возбуждения являются фононами. Скорость звука для
очень длинных волн (*-0) есть
Можно проверить согласованность нашего подхода, вычисляя скорость звука
независимо из коэффициента сжимаемости системы при абсолютном нуле
(2я)2
V
(W7M'+
(19.53)
Гамильтониан тогда принимает вид
(*+?/¦?)+2
к^° (19.
(19.54)
(19.55)
(19.56)
(19.57)
где Р0 - давление при абсолютном нуле
(19.58)
Используя (19.55), находим, что
г=/Ш('+1бУг^)-
(19.59)
$ 4. Основное и слабовозбужденные состояния
465
Мы видим, что первый член согласуется с (19.56). Следующий член имеет
величину порядка 16]/a3/w и находится за пределами точности вычислений,
которые привели нас к (19.56).
Волновые функции
Вычислим теперь волновые функции системы как для основного состояния, так
и для состояний, в которых имеются фононы.
Собственные состояния гамильтониана (19.54) можно характеризовать
фононными числами заполнения ah, которые могут независимо принимать
значения 0, 1, 2, ... Обозначим собственное состояние символом | . .
., ah, . . .). Оно имеет следующие свойства:
6h5h | . . ., ah, . . .) = ak | . . ., ah, . ..),
bk \ .. ., ah, . . .) = l/ak| . . ., ah - 1, . . .>,
(19.60)
l>U • • •, ah, • • •> = VOk + 1 I .... ok + 1, • •
Основное состояние обозначим так:
I ^о)- I 0. 0, 0, ...).
Оно определяется условием
bh\W0) = 0. (19.61)
Пусть, далее, \n1ml; n2m2', ¦ ¦ ¦) есть невозмущенное состояние, в
котором имеется
rth частип с импульсом к,
. (к > 0). rtik частив с импульсом - к,
Тогда можно разложить | 'Fq) следующим образом:
|4V>= ? jjj ... ...)|"iwi; n2m2\ ...). (19.62)
Связанными являются только амплитуды для к, - к, поскольку именно этим
свойством обладает преобразование (19.49). Подставляя (19.62) в (19.61) и
используя (19.49), получаем следующее уравнение для Спт:
fi ? [Сят/л|л- 1, m) + aCBmVZT+l\n. т + 1>] = 0.
466
Г л. 19. Бозе-газ из твердых сфер
\п, m) = \nimi; n2m2-,...). а = ак.
Заменяя индексы суммирования, можно написать
2 |\{Cn + umV^^o.Cntm_lVm]\n, *> = о,
откуда получаем
Сп + Ь m Vn+ 1 + аС", m-I К* = 0.
Отсюда можно сделать вывод, что
С"m =0 (п ^ m). ибо это, очевидно, справедливо для m = 0, а общий случай
может быть доказан по индукции. Поэтому достаточно рассмотреть числа
которые удовлетворяют уравнению
Cmm+aCm-i, = (19.63)
Решение имеет вид
C;nm = (.-a)mC00, (19.64)
причем число Ст должно определяться из условия нормировки полной волновой
функции. Следовательно, невозмущенными состояниями, входящими в
разложение |х?г0'), являются состояния, в которых возбуждены пары частиц
к, -к. Обозначим эти состояния как |/,, /2, . . .), где подразумевается,
что имеется /к частиц с импульсом к и то же самое число частиц с
импульсом -к. Таким образом,
= ... [(-а,)'1 (-а/ ...Ц'ь 1ъ ...>. (19.65)
где ак определяется соотношением (19.51) и каждому к>0 соответствует один
множитель ак. Можно показать, что нормировочная постоянная Z равна
Z = Д У \ -a2k = exp[-|/V(3rt~ 8)]/". (19.66)
В соотношении (19.65) член, у которого /к - 0 при любом к, соответствует
