Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
ний типа плоских волн. Обозначим это невозмущенное состояние
символом
\п)=\пп. "1, ...>, (19.12)
причем соответствующие невозмущенные собственные значения выражаются
формулой
??= гйгЕ*2'1*' (19.13)
Числа заполнения удовлетворяют условию
24 = N¦ О9-14)
30 К Хуанг
454
Гл. 19. Бозе-газ из твердых сфер
С точностью до членов первого порядка уровни энергии
даются
выражениями
еп = Ef -t-е'Д
^ = <п I а | ">- (19.15)
Подставляя выражение (19.10) для Q, обнаруживаем, что в этом матричном
элементе оператор (д/дг) г может быть заменен единицей. Тогда получаем
^=^<"1 ? ";^р+квч_к|">. (19.16)
В сумме (19.16) диагональные матричные элементы имеют только следующие
члены:
p = q, к = 0: alalapap = 2 nl - N<
p ф q, к = 0: 2 a?aJapaq = N2 - 2 "p.
p Ф q, k = q - p: то ж; самое.
Сумма этих членов дает1)
E{n=^(№~\N~^nly (19.17)
Поправку к энергии основного состояния в этом приближении,
обозначаемую через Eq\ можно получить, положив равными нулю
все числа пк, кроме п0, которое равно N:
?#> 2 яа
-sr = isr- (19Л8>
Физическая интерпретация этих результатов была дана в гл. 13, § 5.
Второй порядок теории возмущений
Вычислим энергию основного состояния с точностью до членов второго
порядка малости. Основная наша цель состоит при этом в выяснении роли
оператора (д/дг) г в псевдопотенциале. Поправка второго порядка к энергии
основного состояния дается известной формулой теории возмущений
?f, = (o!Q]'F(1)>, (19.19)
§ 2. Теория возмущений
455
где | 0) - невозмущенное основное состояние, а | *F(1)) - поправка
первого порядка к волновой функции основного состояния:
|у(1))= V .(."¦!а 10) \п). (19.20)
Оператор Q в (19.19) не может применяться последовательно к каждому члену
суммы (19.20), так как последняя не сходится равномерно, что мы увидим в
дальнейшем.
Чтобы вычислить |Ч;<!>), заметим, что вследствие сохранения импульса в
состоянии |л), входящем в сумму (19.20), все частицы, за исключением
двух, имеют импульсы, равные нулю, а эти две частицы - соответственно
импульсы, равные к и -к. Обозначим такое состояние символом |к); с учетом
необходимой нормировки:
| к) = -f=L=7 я+я+ иапа \ 0). (19.21)
> YN{N- 1) к -к
Рассмотрим матричный элемент
(к | Q I 0) = - 1......... (0 I ^"QIOV
N 1 1 ' VN(N-i)
Ясно, что операция (д/дг)г в 2 здесь может быть заменена единицей.
Единственным членом в Q [см. (19.10)], дающим вклад в матричный элемент,
является (4na/mV) д+д+д0д0, где мы ввели множитель 2 ввиду того, что
возможны два случая: р = k, q = -к или р = - к, q = к. Таким образом,
получаем
(k|2|0) = ^ V^W-l). (19.22)
Подставляя (19.22) и (19.21) в (19.20), находим
К(,)>=-^- 2 2^а^_к"0"о1°). (19.23)
где суммирование распространяется на половину импульсного пространства,
исключая начало координат. Это условие выражено указанием того, что к >
0. Подстановка этого результата в (19.19)
42, = ^-(0|2 2 =
= i (W *'(/V'- !) W [rF (19-24)
30'
456
Г л 19. Бозе-газ из твердых сфер
где >)
2 при г~*°- <19-25)
к ^0
Поскольку F (г) обладает особенностью типа 1/г, мы видим, что,
пренебрегая операцией (д/дг) г в (19.24), мы получили бы расходящийся
результат. В действительности имеем
^ = -ш [Т] 2-37 т Е°к (1926)
Переходя к пределу согласно (19.2), получаем
?q21
-фт^°- (19.27)
Следовательно, поправка второго порядка малости может быть отброшена.
Сходимость ряда теории возмущений
Поправка третьего порядка к энергии выражается формулой
Ef = - ">, 'П1") Е(tm) + (V"°\ 9 У. j .
что для основного состояния дает [22]:
?("31= [(2,37)2 + ± (2Л7 -5)] (f)2 Е$К (19.28)
*•2' ".+/¦+".,¦¦ <19М>
Суммирование 2" производится по всем целым значениям I, т, п от -оо до
+00, исключая значение 1~т = п = 0. При N->со получаем выражение
Ef> 1 8х 1 / aN \3 Г / 1 \ 1
~jh~~ъп ~тпт\т~) [1 + °U)J- (19-30>
которое обращается в бесконечность при предельном переходе (19.2).
Следовательно, ряд теории возмущений по степеням а, очевидно, не сходится
при а Ф 0.
') Детали вывода формулы (19.25) см. в работе Хуанга и Янга [22].
§ 2. Теория возмущений
457
Можно показать, что поправка "-го порядка к энергии на одну частицу
расходится для "> 2 при предельном переходе (19.2), причем наиболее
расходящийся член пропорционален (NL2)-1 (aN/L)n, Следовательно,
Отсюда видно, что безразмерным параметром разложения является величина
aN/L. Если в каждом порядке теории возмущений удерживать только наиболее
расходящийся член, то получается ряд вида
где А, В, .. . представляют собой численные постоянные, не зависящие от
а, N и L. Мы утверждаем, что сумма ряда, выписанного в (19.32), и
"остаток" при предельном переходе (19.2) порознь стремятся к конечным
числам. Это дает нам возможность построить новую схему теории возмущений,
в которой новый невозмущенный гамильтониан выбирается так, что его
наименьшее собственное значение равно (19.32) без "остатка". Это
утверждение будет проверено.
Не проводя детальных вычислений, можно представить себе, каким будет
результат, если наше утверждение справедливо. Поскольку ряд в (19.32)
