Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
есть степенной ряд по aN/L, его сумма должна иметь вид
Утверждение состоит в том, что эта величина стремится к конечному числу,
когда N-*-co, V->со, причем V/N = v. В качестве пробной функции возьмем
где х - некоторое число. Для того чтобы наше утверждение было
справедливым, необходимо принять х = 5/2> так как только в этом случае
функция / (aN/L)/NL2 стремится к конечному пределу. Это ведет к
результату
4^ = cons! (^)Л [l + O (1)] • (19.31)
N
"остаток", (19.32)
=4^7 [l + С + .остаток", (19.33)
где С - численная постоянная. Ниже будет показано, что этот
результат на самом деле имеет место. Можно показать, далее,
что
"остаток" мал при Y°3/v 1 •
458
Г л. 19. Бозе-газ из твердых сфер
Может возникнуть вопрос, необходимо ли при вычислении ряда в (19.32)
учитывать высшие поправки к псевдопотенциалу (19.10). Поскольку ряд,
входящий в (19.32), является степенным рядом, содержа ним все степени а,
на первый взгляд кажется, что для получения правильного результата
необходимо иметь точные выражения для псевдопотенциалов. На самом деле
это не так. В каждом члене ряда в (19.32) число N входит в той же
степени, что и а. Нетрудно видеть, что все дополнительные вклады от
псевдопотенциалов высших порядков (эффективный радиус действия 5-волны,
P-волны и т. д.) входят в виде рядов по степеням а. В каждом члене этих
степенных рядов N входит в степени, более низкой, чем а. Таким образом,
эти псевдопотенциалы высших порядков могут дать вклад только в "остаток"
в (19.32). Поэтому в качестве гамильтониана мы можем продолжать
использовать выражение (19.11).
§ 3. НОВЫЙ МЕТОД ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Опишем новый метод теории возмущений, при помощи которого в первом
неисчезающем приближении можно получить энергию основного состояния в
виде (19.33). Как объяснялось выше, новый метод основан на предположении,
что ряд в (19.32) в пределе (19.2) является конечным числом, хотя каждый
член ряда расходится.
Исходим из того обстоятельства, что ряд в (19.32) содержит наиболее
быстро растущие члены в каждом порядке по а. Именно, в каждом порядке по
а число N входит в наибольшей возможной степени. В соответствии с этим
исследуем матричные элементы гамильтониана на их зависимость от N.
Сохраним только те матричные элементы, которые содержат наибольшую
степень N, отбросив остальные. Таким образом мы получим эффективный
гамильтониан, который играет роль невозмущенного гамильтониана в новом
методе теории возмущений. Эффективный гамильтониан диагонализируется
тривиальным образом, причем для энергии основного состояния получается
выражение вида (19.33).
Исследуем вначале недиагональные элементы гамильтониана; это
недиагональные элементы оператора Q [см. (19.10)]. Отличны от нуля
матричные элементы только между состояниями | п) и | т), имеющими вид
\п)= \ .... V ..., л" лр+к, ..., л"_к, ...),
1">=1 •••. Лр-1 лч-1 Яр-к+1, .... Л"-к+1,
где невыписанные числа заполнения одинаковы в обоих состояниях и где р,
q, к - произвольные векторы, причем наложено единственное ограничение,
что | п) ф \ т). Таким образом, отличными от нуля матричными элементами
оператора Q являются элементы,
описывающие столкновение двух частиц при условии сохранения
импульса. Типичный матричный элемент имеет следующий вид:
н q I иk";_kvV =
- V^(np + k+ l)("q-k+ 1) "p"q- (19.34)
Для краткости обозначим этот матричный элемент символом
= (19.35)
Будем различать три класса недиагональных матричных элементов:
К ,0 0Ч к
'¦ -кХ" "Х-k <к#ох
" ,-Х Х-к "< + ". Я^О. q-k^O). (19.36,
III. р+VP (рфО, q ф 0, р + к ф 0, р + к ф q, q - к ф 0). q - к q
Эти три класса различаются тем, сколько импульсов, входящих
в матричный элемент-два, один или ни одного-равны нулю. Ясно, что любой
недиагональный матричный элемент гамильтониана принадлежит к одному из
этих классов. Сейчас мы покажем полезность подобной классификации.
Если взаимодействие постепенно "выключается", то при любых конечных
значениях N и V состояние возмущенной системы непрерывно приближается к
определенному состоянию невзаимодействующих свободных частиц. Существует
однозначное соответствие между свободным и возмущенным состояниями.
Основное состояние соответствует основному состоянию свободных частиц,
обозначаемому символом |0), в котором все частицы занимают уровень к = 0.
Вектор возмущенного состояния | *?) может быть записан как линейная
суперпозиция 10) и таких невозмущенных состояний | п), которые связаны с
10) прямым или непрямым образом при помощи отличных от нуля
недиагональных матричных элементов гамильтониана. Эти состояния ]я)
отличаются от 10) тем, что некоторое число частиц взято с уровня к = 0 и
переведено на другие уровни. Очевидно, что при конечном N будут
существовать состояния | п), в которых уровень к = 0 является
незаполненным, или такие, в которых какой-то другой уровень, отличный от
к = 0, будет заполнен конечной долей полного числа частиц /V, или и то, и
другое вместе. Чтобы пойти дальше в наших рассуждениях, сделаем
