Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
место, если только коэффициент пропорциональности не оказывается
бесконечным. Поэтому правильное вычисление членов следующего порядка
малости требует осторожности. Это вычисление было проделано By [60],
который получил следующий результат:
+ 8(нг ~V,8')'irlnчг + const (it)]- (19л01)
Этот результат показывает, что поправка действительно мала при У a3/v
<<с^ 1, однако разложения по степеням У a3/ v мы не получили.
Г.I. 19. Бозе-еаз из твердых сфер
Отметим дна вопроса, постановка которых вполне законна н которые до сих
пор не получили строгого освещения.
Первый коппос касается граничных условии. На волновую функцию были
наложены граничные условия периодичности, причем чти условия играли
существенную роль при проведении всех вычислений. Хотя сами
нссщонотенцпалы не зависят от асимптотических граничных условий, по вся
схема теории возмущений зависит от граничных условий пепподичпости.
Именно вследствие наличия этих граничных условии имеет место сохранение
импульса в каждом элементарном взаимодействии, о го приводит к уменьшению
числа рассматриваемых матричных элементов п позволяет провести их
классификацию по порядкам величины. Если наложить граничные условия,
например, ооращения волновой функции в нуль на поверхности большого
ящика, то схема теории возмущений, возможно, и не будет работать.
Возникает поэтому вопрос, зависят ли наши результаты от поставленных
граничных условий. Пока отсутствует метод вычисления при произвольных
граничных условиях, мы не можем дать строгого ответа па этот вопрос.
Однако можно попытаться дать ответ, основываясь на физических
соображениях.
Можно надеяться, что подученные выше результаты не зависят от граничных
условий. Предположим, что вводится условие обращения в пуль волновой
функции основного состояния на поверхности нормировочного ооьема.
Поскольку "корреляционная длина" в системе, определяемая соотношением
(19.81), конечна, надо ожидать что плотность частиц практически постоянна
внутри этого объема и быстро уменьшается до пуля вблизи границы на
расстояниях порядка корреляционной длины. При малых а корреляционная
длина очень велика. Но эта величина конечна, а размеры ящика стремятся к
бесконечности Поз гаму результаты пои таких граничных условиях не должны
отличаться от полученных нами выше. Те же соображения показывают. почему
применение теории возмущений при граничных условиях ооращения волновой
функции в нуль на границе может вызывать трудности В этом случае
невозмущенная волновая функция дает плотность частиц [sin (л.с//.)]л. т.
е. в высшей степени неоднородную
Второй вопрос касается фундаментального предположения, состоящего в том,
что можно ограничиться рассмотрением подпространства 5 всего гильбертова
пространства. Вычисления показали, что это предположение приводит к
разумным результатам, но его законность не была доказана. Чтобы
попытаться доказать справедливость такого предположения, надо вначале
придать ему строгую математическую форму. Даже это не было сделано ввиду
трудности определения гильбертова пространства при /V > до (если ппедел
существует). Таким образом, второй вопрос остается без
479
§ 7. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ')
Термодинамические свойства бозе-газа из твердых сфер можно получить,
вычисляя статистическую сумму с помощью энергетических уровней (19.96).
Поскольку низколежащие возбужденные состояния си-темы могут быть описаны
с помощью фононов, ясно, что термодинамические свойства вблизи
абсолютного нуля качественно должны совпадать со свойствами жидкого Не4.
Далее, может быть проведено эвристическое обсуждение кинетической теории
бозе-газа из твердых сфер по схеме, изложенной в гл. 18. Единственное
отличие состоит в том, что в данном случае все величины можно вычислить
до конца, включая две скорости звука при конечных температурах. Мы не
будем входить в детали этих вычислений.
Энергетические уровни (19.96) позволяют найти статистическую сумму при
всех температурах, однако результаты имеют смысл только в той области, в
которой
Y
где X-тепловая длина волны. Эта область содержит часть кривой перехода,
соответствующей конденсации Бозе - Эйнштейна в идеальном бозе-газе.
Поэтому можно полагать, что данное приближение дает возможность провести
обсуждение конденсации Бозе - Эйнштейна газа твердых сфер. Результаты
качественно не отличаются от полученных в гл. 13, § 5.
Заметим, наконец, что в бозе-газе, состоящем из твердых сфер, могут
существовать только две термодинамические фазы, а именно фазы,
аналогичные газовой фазе и конденсированной фазе идеального бозе-газа.
Ситуация, таким образом, качественно отличается от той. которую мы имеем
в жидком Не4, где (помимо твердой фазы) возможны три фазы: газ, Не I и Не
11. Различие обусловлено тем, что в газе твердых сфер не существует
притягивающего взаимодействия. Поэтому система не образует связанного
состояния, которое можно было бы рассматривать как жидкость. Мы получим
три фазы с тем же качественным отношением друг к другу, как и в реальном
