Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
и представляет относительную вероятность обнаружить две частицы на
расстоянии | г, - г2| друг от друга в системе, находящейся п основном
состоянии (т. е. при абсолютном нуле температуры). Для вычисления удобно
представить D(r) в эквивалентной форме
D (IП - г2|) = т)2(Чг01 фг (г,) ф+(г2) ф (г,) ф(Гг) К). (19.84)
где ф(г) есть квантованный полевой оператор (19.6). Вычисления проводятся
с помощью (19.65). Здесь мы приводим только графическое представление
результата, которое дано на фиг. 134. Интересно
jj 5. Высшие возбужденные состояния
471
отметить, что функция D (г) ведет себя как (1-ел-1)2 на малых расстояниях
и как [l-j-0(r~4)] на больших расстояниях. Приближенно определяемое
расстояние г0, соответствующее изменению хода функции D (г),
Фиг, 134. Парная корреляционная функция для бозе-газа из твердых сфер.
можно назвать "корреляционной длиной", так как при расстояниях, больших
г0, положения двух частиц быстро становятся некоррелированными.
§ 5. ВЫСШИЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
Результаты предшествующего параграфа, касающиеся возбужденных состояний,
были получены с помощью эффективного гамильтониана (19.46). Напомним, что
при выводе гамильтониана (19.46) мы имели в виду только вычисление
энергии основного состояния системы. Пригодность этого гамильтониана для
исследования возбужденных состояний должна быть рассмотрена специально.
Именно этим вопросом мы займемся в настоящем параграфе. Было найдено, что
эффективный гамильтониан оказывается справедливым только для
слабовозбужденных состояний, близких к основному состоянию, т. е. для
состояний с малым числом фононов. Когда возбуждено много фононов, ни
энергия возбужденного состояния, ни скорость звука не даются более
гамильтонианом (19.46).
Напомним, что однофононное состояние к получается из невозму-щеиного
состояния, в котором лишь одна частица обладает импульсом к, а полный
импульс всех остальных частиц равен нулю. Поскольку вывод гамильтониана
(19.46) был основан на предположении, что уровень с импульсом 0 занят
почти всеми частицами, эффективный гамильтониан не может описывать
возмущенное состояние, в котором полное число фононов составляет конечную
часть полного числа частиц /V.
При выводе (19.46) предполагалось, что достаточно ограничиться только
подпространством гильбертова пространства системы. Это
31'
472
Г л. 19. Бозе-газ из твердых сфер
"допустимое" подпространство заполнено иевозмущенными состояниями, в
которых
а) основной уровень занят почти всеми N частицами;
б) заполнение всех других уровней, вместе взятых, исчезающе мало по
сравнению с N.
Мы оставляли только матричные элементы первоначального гамильтониана
(19.11), соответствующие "допустимому" подпространству; это привело к
эффективному гамильтониану (19.46).
Очевидно, что для обобщения метода достаточно только обобщить
"допустимое" подпространство. Пусть теперь "допустимое" подпространство
образуется невозмущенными состояниями, в которых
а) основной уровень заполнен конечной частью всех частиц;
б) ни один другой уровень не имеет такого заполнения;
в) общее заполнение всех уровней, отличных от основного, является
конечной частью общего числа частиц.
Вновь делаем предположение, что любое состояние в "допустимом"
подпространстве остается в "допустимом" подпространстве после любого
числа повторных взаимодействий. В новом "допустимом" пространстве, хотя
оно и больше старого, псе еще сохраняется привилегированная роль
основного уровня - именно этот факт существенно упрощает вычисления.
Привилегированность основного уровня состоит в том, что он
рассматривается как неисчерпаемый "резервуар" частиц (подобно вакууму в
теории позитронов Дирака).
Выберем в качестве невозмущенного состояния некоторое состояние из нового
"допустимого" подпространства. Характеризуем это состояние, обозначаемое
символом |/), следующими числами заполнения:
В случае 4=1 мы возвращаемся к ситуации, рассмотренной в предшествующем
параграфе *)¦ Наибольшими недиагональными матричными элементами
гамильтониана, как и ранее, являются матричные элементы.
Уровень Число заполнения
О 4N (0 <|< 1)
к /к (к Ф 0)
При этом мы требуем выполнения условий:
(19.85)
(19.86)
0 при Л7-оо
(к Ф 0).
') Заметим, что параметр Е совпадает с тем, который был введен гл. 12, §
4.
§ 5. Высшие возбужденные состояния
473
описывающие переход двух частиц с основного уровня на уровни к, -к
соответственно. Состояние, прямо или косвенно связанное такими переходами
с состоянием (19.85), имеет следующие числа заполнения:
___________________________________
Уровень Число заполнения
О &Л7-Jjfc
к /к + ^к (19.87)
-к /_к + 'к
Это состояние мы обозначим символом |/; lv 12, ...) или просто
/2, ...). Оно характеризуется набором целых чисел (/к), где /к есть число
частиц на уровне к сверх /к, причем /_к = /к. Все состояния (19.87)
получаются, когда каждое число 1к независимо пробегает значения
*k=-/k- -/к+ 1 О, 1, 2,... . (19.88)1)
Выпишем теперь все существенные матричные элементы гамильтониана. Как и
