Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
понять свойства и поведение жидкого Не4 с молекулярной точки зрения. В
гл. 18 были рассмотрены теории Ландау н Фейнмана, позволяющие на
молекулярной основе объяснить низкотемпературные свойства жидкого Не4.
Однако теории Ландау и Фейнмана не являются строгими. Чтобы подтвердить
полученные ими результаты, желательно исследовать более простую модель
взаимодействующих бозонов, которая допускает рассмотрение с некоторой
математической строгостью. Бозе-газ из твердых сфер как раз и является
такой моделью.
Сформулируем проблему бозе-газа из твердых сфер с помощью метода
псевдопотенциалов, обсуждавшегося в гл. 13, § 2 и § 3. Гамильтониан
системы возьмем в виде
<191>
1= I Ki
где rij=\ г( - Г)\. Пригодность этого гамильтониана в качестве
приближения к истинному гамильтониану газа из твердых сфер обсуждалась в
гл. 13, § 3. Напомним только, что гамильтониан (19.1) был получен после
пренебрежения членами, пропорциональными а* при л>-3. Если требуется
вычислить энергетические уровни системы при конечных значениях N и V, то
гамильтониан (19.1) верен только с точностью до величин порядка а1. Мы
ищем, однако, уровни
$ 2. Теория возмущении
451
энергии при предельных значениях
N->¦00.
V > оо, (19.2>
V__
N ~V'
где v - заданное конечное число. Путем применения обычной теории
возмущений можно показать, что в данном случае разложение энергии по
степеням а не существует [см. (19.31)]. Таким образом, пределы
применимости гамильтониана (19.1) пока не ясны; этот вопрос обсуждается в
дальнейшем после проведения некоторых вычислений.
Цель настоящего исследования состоит в нахождении собственных значений
гамильтониана (19.1) в предположении, что газ является разреженным, т. е.
7<!. (19.3)
Найдя собственные значения, можно использовать их для вычисления
статистической суммы системы и обсуждения макроскопических свойств
равновесного состояния и процессов переноса]).
§ 2. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Гамильтониан
В настоящем параграфе мы рассмотрим методом теории возмущений решение
уравнения Шредингера2)
(K + Q)X? = EW, (19.4)
где
2 = (19-5>
v'J = ^r{>(ri-TT>^rjru.
причем 2 следует рассматривать как возмущение. Как N, так и V являются
очень большими, но конечными величинами.
') Основные излагаемые здесь результаты получены в работах Хуанга, Янга и
Ли [22, 58].
9 Используем систему единиц, в которой h = 1.
29'
452
Г л. 19. Бозе-газ из твердых сфер
Удобно переписать уравнение (19.4) в форме, используемой в методе
квантованных полей1). Пусть ф(л) и эрмитово сопряженная функция ф+ (г)
являются операторами поля бозонов. Разложим оператор ф(г) в ряд Фурье
ф(г)=^ак-~. (19.6)
где, чтобы удовлетворить граничным условиям периодичности, мы должны
положить
к = (19.7)
здесь п представляет собой вектор, компоненты которого независимо
принимают значения 0, ±1, ±2, ... Оператор уничтожения ак и оператор
рождения удовлетворяют перестановочным соотношениям
К = (19.8)
Гамильтониан может быть записан в форме
H = K + Q,
rf3^+(r> (г) = V*4"k-
k (19.9)
а = ПГ J d3ri d3r^f (П) Ф+ (гг) 6 (r, - r2)-^7 [ГыФ (r,) ф (r2)).
Полученное выражение для Q требует некоторого обсуждения ввиду наличия
оператора (д/дг) г. Этот оператор обладает следующими свойствами:
-Jp-[r/(r))r=0 = /(0) (если функция / регулярна при г - 0),
в то время как
[г/ (г)]г=0 = О (если функция /-ПРИ г->0).
Оператор (д/дг) г устраняет всякую особенность типа 1/г в функции, к
которой он применен2).
Если вычислять матричные элементы vi} оператора (19.5) относительно
одночастичных состояний типа плоских волн, то в каждом матричном элементе
оператор (д/дг) г можно заменить единицей, так как плоская волна
регулярна в начале координат. Если же матричный
*) См. приложение А, § 3.
2) См. задачу 13.1.
§ 2 Теория возмущений
453
элемент вычисляется относительно начальных состояний, представляющих
собой суперпозицию плоских волн, то оператор (д/дг)г уже не может быть
заменен единицей, ибо в результате суперпозиции плоских волн мы можем
получить функцию, имеющую особенность типа 1 /г. Это означает, что в том
случае, когда начальное состояние есть суперпозиция плоских волн,
результат действия оператора (dfdr)r не может быть получен
последовательным применением его к каждому члену суммы. Почленное
применение опера ора [эквивалентное условию (<?/<?/•) /" = 11 является
корректным только в случае равномерной сходимости ряда из плоских волн, В
соответствии с этим, подставляя (19.6) в выражение (19.9) для Q,
необходимо написать
где aa=flk , а 6 -символ Кронекера, выражающий сохранение
импульса при каждом элементарном взаимодействии. Таким образом,
Это выражение кажется сложным, но на самом деле применять его очень
просто. Полный гамильтониан дается выражением
"-вгS*4s+lrS*"v¦ о*-'"
Первый порядок теории возмущений
Будем исходить из невозмущенного гамильтониана К, рассматривая ?2 как
возмущение. Невозмущенное состояние характеризуется набором чисел
заполнения ("0, ...] одночастичных состоя--
