Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
невозмущенному основному состоянию |0). Следовательно, Z есть не что
иное, как (0 | Чт0'), т. е. амплитуда вероятности найти невозмущенное
основное состояние в возмущенном основном состоянии. Согласно (19.66),
эти два состояния становятся ортогональными друг другу при N-у со.
§ 4. Основное и слабовозбужденные состояния
467
Нетрудно вычислить волновые функции возбужденных состояний. Например, для
состояния с одним фононом, имеющим импульс к, нормированная волновая
функция определяется так:
W 1%). (19.67)
Непосредственным вычислением получаем
!г1;к) = ак "к IW). (19.68)
Таким образом, однофононное состояние есть суперпозиция невозмущенных
состояний, в которых имеется любое число частиц с импульсами р, -р при
любых р плюс одна дополнительная частица с импульсом к.
Среднее число частиц с импульсом к в возмущенном основном состоянии равно
{nk) = {'?0\aiak\V0) = -[^ (к Ф 0). (19.69)
Следовательно, полное число возбужденных частиц в возмущенном основном
состоянии есть
(|9-70)
Число частиц с равным нулю импульсом в возмущенном основном состоянии
равно
Н) = лф ^ ]¦ (19.71)
Таким образом, возбуждается только небольшая часть Уa3/v всех частиц. Это
оправдывает пренебрежение в (19.44) членом/2 W +
Wo )
-f- 2 пк п0 сравнению с пj*.
Поучительно вычислить волновые функции в конфигурационном пространстве. В
каждом члене суммы (19.65) число га=2(*к равно
половине полного числа частиц с отличным от нуля импульсом.
Следовательно, должно быть N^2n. Перепишем (19.65) следующим образом:
ЛГ/2
468
Гл. 19. Бозе-газ аз твердых сфер
В конце вычислений совершим переход /V-> со. Для невозмущенного
состояния, характеризуемого числами заполнения [п0, пи ...},
нормированная волновая функция в конфигурационном пространстве имеет вид
<г" г т"\п0, пь =-1 Уяг'(р"-г' + '- + рлг'глг),
V(tm) УЛМП("к!)^
(19.73)
У, Ре1 [р1 (г1-г2)+ ••• +V(r3-r<)], (19,74)
Vm VN\(N-2n)\ Ц(/к!)
где /, импульсов из рь .... р" равны /2 равны к2 и т. д. Рассмотрим
теперь сумму, входящую в (19.72):
|Х"}=; 2 [(-<*,)'¦(-о/ •••>•
2'l^n
Она может быть переписана в форме |Х"> = 2d К- "•) (- "а) (- "а) • • -
]\h.k. ¦ ¦ ¦) =
к, < к, < ...
= 2 !(-",)(- 02)(-"а) ••¦Шо к-
(19.75)
где kj^kj-C ... означает некоторую упорядоченность импульсов. В
выражении, стоящем во второй строке, каждый импульс независимо пробегает
значения, лежащие в половине импульсного пространства, исключая точку к =
0 (что отмечается условием к > 0). Представление суммы (19.75) в
конфигурационном пространстве можно получить, подставляя (19.74) вместо
|/,, /2, . . .):
*"(Г| г")"-твг "!ут(ДГ_2")! SPX
х S (-".""'vr.
Введем функцию
/07) = /(Г< - rj), (19.76)
$ 4. Основное и слабовозбужденные состояния
469
Поскольку ah зависит только от | к[, отсюда следует, что / (г) зависит
только от j г |. Поэтому можно написать
ffl'Smi"-../<*>".
где всего имеется п множителей f(ij).
Число различных способов выбора аргументов в /(/у) из /V координат rj Гд,
можно найти, заполняя п ящиков шарами при
наличии N шаров. Ящики тождественны, в каждый можно поместить два шара,
причем порядок этих двух шаров не имеет значения
| О О | о о | ••• I О О | О О I ООО - ООО \ г 0-1 П ' ^
'
Существует, очевидно, всего
[•а.личных способов заполнения ящиков, в то время как число перестановок
Г], .... Гд, равно /V!. Следовательно,
^/1^2")!-^V|/(12) ... /(34)1,
(19.77)
различные способы заполнения
Чго(г, Гд,) = 2^ Хл(Г!
= ^{1 + 1/(12) + /(34)+...] +
+ [/(12)/(34)+/(12)/(56)+. . . ]+|/(12) /(34) /(56)+. ..]+...}.
(19.78)
Эта функция отличается от функции
+'(Г[, .... r^-JL-Д(1 +/(//)] (19.79)
только тем, что (19.79) содержит лишние члены типа / (12) / (13), / (12)
/ (13) / (34)...........
а которых одна и та же частица попадает более чем в один "ящик". Можно
показать, что такие члены принадлежат более высоким приближениям, чем
рассматриваемое нами. Поэтому с точностью до
470
Гл. 19. Бозе-газ из твердых сфер
членов порядка V a3/v в качестве волновой функции можно взять
выражение(19.79у Функция /(г), определенная соотношениями (19.76),
обладает следующим асимптотическим поведением:
/(г) ~ - 7 (г С'о).
(19.80)
/(Г)^-32]/^ (^)4 (л^л0).
'о=/(?г- (19-8"
Таким образом, хотя функция (19.79) обращается в нуль при г(;.= а, а
функция (19.78) при г(.;.= в обращается в нуль только
приближенно, ее значение при этом есть величина
высшего порядка мало-
сти по сравнению с У a3/v .
Как легко показать, однофононная волновая функция (19.67) в
конфигурационном пространстве записывается следующим образом:
'Fu(rr гЛ,) = const S e'k"V'FII(ri гд.). (19.82)
Таким образом, эта функция имеет тот же вид, что и фононная волновая
функция Фейнмана для жидкого Не4, полученная им на основе разумных
предположений.
Вычислим, наконец, парную корреляционную функцию D (г), определяемую
следующим образом:
О (1 г, - r21)=* (г, - * (г2 - г;) I w0 (г I.
...,Г')Р,
(19.83)
Эта функция нормирована так, что стремится к единице при | г, - г21 -> оо
