Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
up(r + nL)=:up(r)t (А.25)
где смысл пи L ясен из (А. 11). Отсюда следует, что допустимые значения р
имеют вид
2лйп ,. с\г>\
р=-г-. (А. 26)
Эти значения образуют кубическую решетку в импульсном пространстве с
постоянной решетки 2лЬЩ при Н->со постоянная решетки стремится к нулю. В
пределе V->со элемент объема d3p в импульсном пространстве содержит
(V/h3)d3p узлов решетки. Поэтому при V -> оо суммирование по р может быть
заменено интегрированием по р следующим образом:
2->тИ'*3'- (А-27>
Функции, определяемые соотношением (А. 24), очевидно, образуют
ортогональную систему. Полнота этой системы следует хотя бы из
возможности разложения функций в ряд Фурье.
Волновые функции, построенные из ир(г) в соответствии с выражением (А.
14), являются волновыми функциями N свободных частиц.
Они обозначаются символом Фр(1 N) и являются собственными
функциями оператора кинетической энергии К
кф"(1......^ = -ш{р\+ ••• +^)ФД1...................w)- (А-28)
где рх, ..., pN - импульсы, соответствующие N одночастичным волновым
функциям, входящим в Фр.
Пример вычисления в случае системы бозонов
Вычислим (Фа, йФа) для системы бозонов:
(Фа,ЙФа) = J й(tm)гФ*а V ";/Фа = 1л/(Л/-1) J d3Nr Ф>12Фа,
причем второе равенство получается путем соответствующего переобозначения
переменных интегрирования Г! tN в каждом члене
суммы 2(r):;- Используя (А. 14), находим (Фа, ЙФа) =
Р Q
= "(Ж21) 2 2 (Яа1' Ра2 I (r) I Qai- ""2> (<Ч ""э • • • <**)¦
° (А. 29)
490
Приложение А
(а, рМч, a.>s J d3r,d3r2"* (1) цр(2)^12"v(l) их(2). (А. 30)
В (А. 29) только два члена суммы 2 отличны от нуля, а именно Q
члены, удовлетворяющие условиям "а" или "б": a)Qa, = Pa,, Qa2=Pa2, Qaj =
PaJt
) Qa,=
Поэтому
(Ф0, 2 'I)u)=^=il % ((Pa,, Pa21 г" I Pu" Pa2) +
p
+ (Pa,, Pa21 v | Pa2, Pa,)). (A. 32)
Когда производятся все ЛП перестановок в наборе {а,..............а^},
пара (Ра,, Ра2} принимает все возможные пары значений (a, р), выбираемые
из набора (a, aN}. Предположим, что числа заполнения одночастичных
состояний а, р соответственно равны rta, п^. Тогда число способов выбора
пары (a, pj из набора (а,, а^)
равно
| Vp (а =f= Р).
/ар = { уЛа(ла-1) (а=р).
/а" = (1 - бар) Vp + J б"рПа ("а - 1 )•
Кроме того, имеется (N - 2)! перестановок, относящихся только
к квантовым числам ja3 a^} и поэтому оставляющих пару
(а,, а2) неизменной. Выбирая в качестве индекса волновой функции Ф" набор
чисел заполнения, получаем
(Ф", е Фя) =4 Л/ (Л/ -1) -^-=4 2 /ар "°. РI"I а. Р> + (a. Р М м".
(Ф", 2 Ф")= I ^ [(1 - в"р) Vp + i 6а(3ла (па - 1)] X
Х((а, р| v|а. р) + (а. р|г"|р, а". (А. 33)
Система N тождественных частиц
491
Для волновых функций свободных частиц (А. 24) и для v12 = = б(Г[ - г2)
матричный элемент (А. 30) сводится к
<р,. р21*|р;. Рг) = т* (А-34)
Поэтому для волновых функций свободных частиц находим
((r)". S'"<г,-ч)Ф.| =^ [ S;V. + tS*p(*p- О] ¦
Поскольку
2 rtprtk = 2 р 2 пк - 2 rtp = N2 - 2 rtp. (А. 35)
p?-k Р р Р k Р Р р Р
имеем
(ф-• s6(г' - г/>ф*) = 2^ (^2 - iN - т 2 ft2p)* (А-36)
Пример вычисления в случае системы фермионов
Вычислим (Ф", Q Ф0) для системы фермионов. Справедливость формул (А. 29)
не нарушается, если под знак суммы в (А. 29) ввести множитель
Условия (А. 31) остаются в силе. Замечая,
что 6p6q=1 при условии "а" и что 6p6q = - 1 при условии "б",
получаем вместо (А. 32) формулу (Фв, Q Ф") =
= JV%1-S (<Ра\v\P^'Pa2)-{p*v P^\v\Pa2, Ра,". (А. 37) Замечая далее, что
""=0, 1, находим вместо (А. 33)
(Ф", ?2 Ф") = 1 2 Р|(r)|а. -(a. p|w|p. а}). (А. 38)
Чтобы показать, как следует обобщить волновые функции N частиц, чтобы они
включали спиновые координаты частиц, рассмотрим случай фермионов со
спином Л/2. В дополнение к пространственной координате г каждая частица
обладает теперь еще и спиновой координатой а, которая может принимать
только значения +1. Волновая функция свободной частицы ups (г, а), помимо
импульса р, характеризуется теперь еще спиновым квантовым числом s,
которое может принимать только значения +1. Когда s=-j-l, говорят, что
частица находится в состоянии со спином, направленным вверх, а когда s=-
1, - со спином, направленным вниз. В явном виде имеем
вр,(г, a)=~e'v-¦p/*6(s. a), (А. 39)
32*
492
Приложение А
где
1 (s = о),
6(s, а) =
О (s ф а).
(А. 40)
Иногда записывают два значения upj(r, а) для а=±1 следующим образом:
Здесь мы не будем использовать это представление.
Если для краткости обозначить через а набор квантовых чисел (ра, 5а}, а
через иа(1) - функцию иа(Г|, а,), то (А. 14) определяет полную
ортонормированную систему волновых функций совокупности N фермионов, а
(А. 38) продолжает оставаться справедливым. Пусть г>12 = 6(г1-г2) и не
зависит от спиновых координат. Тогда
Пусть, далее, nps обозначает число заполнения одночастичного состояния с
импульсом р и спиновым квантовым числом s. Тогда (А. 38) принимает вид
(а, Р 161 а, р) =
V '
(а, р|6|р, а) = ~6 (sa, Sp).
,snks¦ [l-6(s, s')] =
Положим
/v+s=|"P,+1,
= 2 v _, = N - N+.
(A. 41)
Тогда
