Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
(18.95) - (18.98), поскольку не заданы граничные условия для v" и v^.
Поэтому мы не можем использовать эти уравнения при обсуждении таких
задач, как течение Не II вдоль стенки или поведение Не II во вращающемся
сосуде. Ниже мы только укажем на некоторые идеи, выдвинутые в связи с
этими проблемами. Полная теория в настоящий момент отсутствует.
Ландау [55] предполагал, что вблизи абсолютного нуля Не II может
протекать вдоль стенки без какого бы то ни было трения, если только
относительная скорость течения меньше скорости звука с. Чтобы понять это
предположение, надо рассмотреть движение некоторого постороннего тела со
скоростью \е в покоящейся жидкости. Поскольку единственными возможными
возбуждениями в жидкости являются фононы, то энергия и импульс могут
передаваться жидкости только путем а) возбуждения новых фононов и б)
рассеяния уже существующих фононов. Предположим, что энергия ДЕ
передается путем возбуждения группы фононов, характеризуемых числами
заполнения [/гк|:
ДЕ= 2 c\k\nh.
кфо
Импульс, передаваемый жидкости, очевидно, равен
др= 2 к,.
к^О
Поэтому
|АР|< Sjklv с|ДР|<Д?.
С другой стороны, если посторонний предмет теряет энергию ДЕ и импульс
ДР, то должно иметь место соотношение Д? = уе-ДР.
Это возможно только при выполнении неравенства |ve|>c. При низких
температурах передача энергии путем рассеяния существующих фононов
пренебрежимо мала, так как при Т -"¦ 0 количество фононов в жидкости
становится равным нулю. Отметим, что это рассуждение существенно зависит
от свойства линейности энергетического спектра фононов и не применимо в
случае идеального газа бозонов.
Вышеприведенное рассуждение справедливо только при абсолютном нуле и
теряет смысл при более высоких температурах, когда в жидкости
присутствует много фононов. В этом случае внешнее
§ 7 Сверхтекучесть
гело может терять энергию и импульс путем рассеяния фононов. Эксперименты
по протеканию Не II вдоль стенки при температуре 1°К указывают, что
критическая скорость на несколько порядков меньше с.
Лондон [18] выдвинул идею, что к уравнениям гидродинамики необходимо
добавить уравнение движения VXvs = 0.
С этим дополнительным уравнением можно, например, сделать определенные
выводы относительно течения Не II во вращающемся сосуде. Эта идея
основана на предположении, что сверхтекучей компоненте соответствует
волновая функция основного состояния в соотношении (18.27), которая
входит общим множителем во все волновые функции жидкости для состояний с
малым числом фононов. Лондон предположил, что течение сверхтекучей
компоненты индуцируется медленным изменением макроскопических граничных
условий, так что *F0 меняется адиабатически. Течение, возникающее
вследствие адиабатического изменения отдельного квантового состояния,
должно быть безвихревым. Отсюда VXvs=0.
Предположение Лондона кажется вполне правдоподобным при температурах ниже
10-20°К, когда тепловая длина волны оказывается одного порядка величины с
размерами сосуда, в котором заключена жидкость. Волновая функция в этом
случае должна учитывать сильные корреляции на макроскопических
расстояниях, так что система должна реагировать на изменение внешних
граничных условий как "единое целое". Однако столь низкие температуры
находятся за пределами современных экспериментальных возможностей.
Эксперименты, проведенные при 1°К, не подтверждают предположения Лондона.
Онсагер и Фейнман выдвинули идею, что, помимо элементарных возбуждений,
характеризуемых энергетическим спектром (18.2), существует другой тип
возбуждений со следующими свойствами. Состояние жидкости, соответствующее
присутствию одного такого возбуждения, имеет энергию, отделенную от
энергии основного состояния энергетической щелью. Если Ч? является
волновой функцией такого состояния, то распределение скоростей (h/2ml)
('PV'F - 'FV'F') сходно с распределением скоростей в вихревой линии
классической гидродинамики. Поэтому такое возбуждение может быть названо
квантованной вихревой линией. В настоящее время это наиболее интересная
идея, выдвинутая для объяснения свойств течения сверхтекучей компоненты
Не II!).
*) Подробное обсуждение идеи квантованных вихревых линий см. в статье
Вайнена [56]. Другая интересная идея, состоящая в том, что уравнения
гидродинамики следует феноменологическим образом дополнить граничными
условиями скольжения (slip), аналогичными обсуждавшимся в гл. 5, § 5,
выдвинута Лином [57].
29 К. Хуанг
Глава 19 БОЗЕ-ГАЗ ИЗ ТВЕРДЫХ СФЕР
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Бозе-газ из твердых сфер представляет собой систему ЛГ бесспи-новых
бозонов с массой т, заключенную в объеме У, при наличии граничного
условия обращения в нуль волновой функции системы всякий раз, когда любая
пара частиц сближается на расстояние, меньшее диаметра твердой сферы а.
Для определенности потребуем также, чтобы волновая функция удовлетворяла
граничным условиям периодичности в объеме V, который мы считаем кубом со
сторонами L = V'<>.
Поводом к исследованию бозе-газа из твердых сфер является стремление
