Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 131

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 154 >> Следующая

рассматриваемого слоя. Следовательно, существует и тепловой поток из
слоя; примем, что он описывается формулой
h = Ts(\n - vj.
Количество тепла, теряемое слоем за время dt, равно h-ndt, где п -
вектор, нормальный к плоской поверхности слоя. Поскольку в нашей модели
нет никаких диссипативных процессов, этот тепловой поток должен быть
обратимым, а обратимый поток тепла экви-
¦) Ли и Янг в упомянутой выше работе [54] смогли постулировать выражение
для потока Je в разреженном бозе-газе, состоящем из твердых сфер, для
которого точно известна энергия элементарных возбуждений ю В работе
Лондона [18] дан вывод J?, однако не из молекулярных соображении.
§ 6. Кинетическая теория вблизи абсолютного нуля
445
валентен потоку, производимому тепловым двигателем Карно. Следовательно,
если две поверхности слоя отличаются по температуре на dT, то теряемое
тепло h • n dt должно компенсироваться работой (h • n dt)(dT/T).
Предположим, что эта работа производится за счет d(f' dx. Тогда
Используя постулированные выражения для и h, получаем искомое уравнение
Вместе с (18.91) - (18.93) это уравнение образует систему уравнений
гидродинамики Не II.
При абсолютном равновесии v" и V, обращаются в нуль, а р" н не только
являются однородными в пространстве и постоянными во времени, но также и
вполне определенными функциями Г и р. Уравнения гидродинамики (18.91)-
(18.94), очевидно, могут быть справедливыми только для состояний, слабо
отличающихся от состояния абсолютного равновесия. В соответствии с этим
надо рассматривать v" и \s, пространственные и временные производные р" и
р5 и всех термодинамических функций как малые величины первого порядка
малости. Пренебрегая всеми величинами второго порядка малости, получаем
из (18.91) - (18.94) следующие линейные уравнения гидродинамики:
Строго говоря, надо было бы добавить к правой части уравнения
(18.98) произвольный вектор, перпендикулярный к v" - vs. Мы произвольно
выбираем этот вектор равным нулю.
Эффект фонтанирования является прямым следствием (18.97) и
(18.98). Вычитая одно уравнение из другого, имеем
- d^'dx = h-n^f-,
dT
Т
или
^ + 4-h-V 7 = 0.
(v* -v.) • {4[р-(v-_ v*)]+sVr}=0 ¦ (18-94)
1 + P"V' v* + P,V- v, = 0,
(18.95
(18.96
(18.97
(18.98
446
Гл. 18. Жидкий гелий
В стационарном потоке сверхтекучей компоненты d\Jdt = 0, поэтому VP =
sVT. Это означает, что если температура в двух точках на линии тока у,
отличается на ДТ, то давление в них должно различаться на величину
ЛЯ = s ДГ.
§ 7. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ Первый и второй звук
Мы можем исключить v" и vs из уравнений (18.95)-(18.98), производя
сложение и вычитание соответствующих уравнений, беря в случае
необходимости производные по времени и пространственным координатам.
Таким образом можно свести четыре уравнения к двум, которые имеют вид
- V 2Я = О,
________________________1 Ps_ smj = а
dt* s dt* ^ р" S
Хотя в уравнения (18.99) входят четыре величины р, s, Р, Т, только две из
них следует рассматривать как независимые. В качестве этих независимых
величин выбираем Г и р. Тогда в линейном приближении можно записать *)
dt* ~\ дГ/р dt* dt* '
*'Р={?\'РТ+(%)Г'Ъ.
где производные термодинамических величин должны вычисляться при условии
абсолютного равновесия. Подставляя эти выражения в (18.99), получаем
систему связанных уравнений для р и Т:
у2р_^|Р+^у2Г = 0,
(18.100)
1 (tm)+ъЦ = о,
с\ dt2 dt
') Отметим, что если бы давление Р зависело только от р, то первое
уравнение (18.99) свелось бы к обычному уравнению для звуковой волны.
Одиако Р является функцией и р, и Т, так как отсутствует обычное условие
адиабатичности (ср. гл. 5, § 3).
При абсолютном нуле у1 = 0, так как величина у^ пропорциональна
коэффициенту теплового расширения, который обращается п нуль в
соответствии с третьим законом термодинамики. Кроме того, у2 = 0, так как
pjs яи Т, что можно видеть из (18.78) и (18.87). По определению,
сг-*с при Т -> 0; (18.102)
в нашей модели с является экспериментальным параметром. Из (18.78) и
(18.87) тривиальным образом получаем
при 0. (18J03)
Таким образом, при абсолютном нуле уравнения (18.100) оказываются
несвязанными. Первое описывает волну плотности со скоростью с, а второе
описывает тепловую волну со скоростью с/У3 . Они соответственно
называются первым и вторым звуком.
При конечных температурах уравнения (18,100) остаются связанными. Будем
искать их решения в форме
Р = Ро~Ь
(18.104)
7 = Го + 7>г
Подставляя эти выражения в (18.100), получаем при данном k два уравнения
для двух неизвестных ю и р1/Т1. Отношение w/A есть скорость этих волн.
Нетрудно найти, что
(т) = 1 (И + С2 + (С1С2)'^,Т2] ±
± V\{c\ + Г2)2 + ъъ] f(Cj - C2f + (с^у Ш) ]. (18.105)
Это выражение дает две скорости звука. При конечных температурах величины
clt с2, уь у2 не могут быть вычислены с помощью нашей модели; однако они
могут быть получены из экспериментальных данных.
448
Г л. 18. Жидкий гелий
Поток сверхтекучей жидкости
Гидродинамический поток в Не II не полностью определяется уравнениями
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed