Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
Интегрирование по q дает
0= / dJ?<"4y+,(1+<"4>)(Vqfflq-u) (У = о, 1, 2, ...).
Отсюда следует, что, если / (;е) есть функция, которая может быть
разложена по степеням х, то
/ ^3<7 (л,) (Vqwq - u) / "л," =
0.
Полагая f(x)=l, получаем (18.74).
Величина coq есть энергия возбуждения, импульс которого относительно
сверхтекучей компоненты равен q. Поэтому Vqwq есть групповая скорость
возбуждения относительно сверхтекучей компоненты. Согласно (18.74),
вектор и есть средняя групповая скорость возбуждения относительно
сверхтекучей компоненты жидкости.
При достаточно низких температурах надо учитывать только фононную часть
энергетического спектра шч. Тогда все термодинамические функции могут
быть вычислены явно. В качестве примера вычислим и из (18.67). Интеграл в
правой части (18.67) должен быть
442
Г л. 18. Жидкий гелий
пропорционален и, так как эго единственный фиксированный вектор в
подынтегральном выражении. Поэтому
/ /U-.7--U4, -1 = _ i •
Пусть 0 есть угол между и и q, * = - cos 0 и у = $cq [1-{-(и/с) х]. Тогда
"V Г 'Pq-r----------------= - -Г йх - Г dy --- -
и2 J **.ew-u-4>_i u(Pc)4_J [1 + (и/с) x^J е>-1
_ 16ltS u
45p'c5 [1 - (u/c)2]3 "
Следовательно, u определяется соотношением P pk, _ 2л2 (kTY
V m 45 с5 [1 - (ы/с)2]з * U"-'0)
Аналогично находим, что
(18.76)
g р | у [ д2 (&П4 1 ~t~ Уз (Ц/Д)8 П8 771
е ео + б ~Н 30 с3 [1_("/с)2], . (18.77)
2л2 / kT \3 l + i/(("/c)2 = 45 I с ) [1 - (и/с)2]3
(18.78)
Таким образом, при абсолютном равновесии, когда <if = 0 и и = 0, имеем
Р-Р0 = у(е-е0) = 4г5.
Двухжидкостная модель
Определим, только ради математического удобства, массовые
плотности р", ру и скорости v", \s нормальной и сверхтекучей ком-
понент жидкости:
vi=lT- (18-7Э>
Г d>q(n )V <0
v" = v5 + J . q-q = u, (18.80)
Р5=Р-Р". (18.81)
"=/w'W <18'82>
§ 6. Кинетическая теория вблизи абсолютного нуля 443
В определении р" замечаем, что интеграл J d3qq {пч) должен быть
пропорционален и, так как в подынтегральное выражение не входит никакой
другой вектор, Таким образом,
= wr"-q("q>- (18-83)
С этими определениями плотность массы и плотность импульса жидкости могут
быть соответственно выражены следующим образом: Р = РЛ + Р*. (18.84)
p = -^ = p"v" + pJvs. (18.85)
Величина определяемая соотношением (18.66), имеет вид
= -j Psvl + Y Ря^л - у Pn I - vn Р- (18.86)
При достаточно низких температурах, когда можно учитывать только фононную
часть coq, получаем
_________(*ту
'45cs [1 - (и/с)2]3 В качестве численной иллюстрации укажем, что
р"/ряе10~6 при 0,5° К.
Определения (18.79) - (18,82) соответствуют величинам, введенным Тиссой в
его феноменологической двухжидкостной модели. Здесь мы получили их на
основе молекулярной теории Ландау и Фейнмана. Необходимо помнить, однако,
следующие обстоятельства:
а) определения (18.79) - (18.82) не являются единственными;
б) определения (18.79) - (18,82) не являются необходимыми, а выбраны из
соображений удобства;
в) модель Не II, состоящего из двух жидкостей, нельзя понимать в
буквальном смысле, так как невозможно поставить в соответствие каждой из
жидкостей определенную группу атомов Не.
Уравнения гидродинамики ')
Определения (18 79) - (18.82) лежат в основе физического
описания Не II как двухкомпонентной жидкости. Исходя из этого
описания
представляется разумным постулировать следующие соотношения:
JP = P"v" + p,v,, (18.88
^ = (18.89
Tu = (y,)i (РЛ),-+ (v"),- (pnvn);+ (18.90)
") Уравнения гидродинамики сверхтекучей жидкости впервые были получены Л.
Д. Ландау (см., например, Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Механика
сплошных сред, М., 1953). - Прим. ред.
Г л. 18. Жидкий гелий
Эти потоки имеют черты, которыми не обладают соответствующие потоки в
обычной жидкости; так, возможна ситуация, когда существуют потоки
импульса и энтропии, но отсутствует поток масс. Это свойство, очевидно,
связано с наличием независимой степени свободы к*. Записывая законы
сохранения для этих потоков, получаем уравнения гидродинамики:
-^ + V-(p"v" + psv,) = 0, (18.91)
¦gi+V.(svB) = 0, (18.92)
4 (P"v" + Psvs) + 2 Ш7 Kv,),P,v, + (v.), P"V"] = - VP. (18.93)
Уравнение, соответствующее закону сохранения энергии, требует
дополнительного рассмотрения. В предлагаемой модели мы не можем получить
выражения для потока энергии Je, так как неизвестно, каким образом
энергия <оч, содержащая скорость звука, зависит от р" и ps. Вследствие
этого нельзя определить, какая часть плотности энергии (18.72) относится
к сверхтекучей, а какая-к нормальной компонентам жидкости '). Поэтому мы
воспользуемся другим способом, основанным на следующих соображениях (см.
[18]).
Пусть плотность кинетической энергии относительного движения нормальной и
сверхтекучей компонент определяется формулой
r=4p"|v"-v,|2.
Рассмотрим плоский слой жидкости, имеющий единичную площадь и толщину dx.
Предположим, что за промежуток времени dt кинетическая энергия
относительного движения внутри этого слоя уменьшается на величину def'
dx. Тогда должен существовать поток нормальной компоненты жидкости из
