Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
где В пробегает компактные подмножества в G, ф, трвЖ^ устанавливает
взаимно однозначное соответствие между ко-вариантными разложениями
единицы в Ж и классами эквивалентности положительно определенных ядер
{Р(ЯД')}, таких что Р(Я,Я) = 1я (единичный оператор в Ж {к)).
Эта теорема сводит вопрос об описании множества Extr5DlG V (G) к
нахождению крайних точек выпуклого множества положительно определенных
ядер (Р(ЯД')}, удовлетворяющих условию Р(ЯД) = 1,.. В полном объеме эта
задача не решена даже для конечного Л. Можно, однако, выделить подкласс
множества Extr v (G), существенный для квантовоме-ханическпх приложений.
Для простоты ограничимся далее случаем, когда dim Ж {К) =const, Х?А.
Обозначим 2)(tcG'v (G) класс ковариант-ных разложений единицы, ядра
которых удовлетворяют соотношению
Р (X, Х')Р(Х', Х") = Р(Х, X"); X, X' д"ел.
Если A = G, то этот класс совпадает с Шо'У (G), с другой стороны,
2tt?'v(G)c=Extr 33iG,v (G), причем совпадение имеет место только, если Л
состоит из двух точек. Все элементы
24c'v (G) получаются друг из друга калибровочными преобразования ми
М' (В) = U*M (В) U, (3.7)
где U = (r)U (X) dX- разложимый унитарный оператор в Ж =
А
= J (r)Ж(Х) dX.
Л
Если реализовать Ж как L2yf(A,dX), где Ж(Х) = Ж, Х?А,
то в классе (G) выделяется разложение единицы Мс,
определяемое ядром Р (X, а') = 1^ (единичный оператор в Ж), для которого
( ц, I Мс (В) ф > = 5 J < г|з (Я) | ф (X') > ;х\:] (X - X') dXdX'.
(3.8)
Л Л
Всякое M?Wl°'v {G) имеет ядро вида U (X)* U (X'), где fJJ(А.)}- измеримое
семейство унитарных операторов в Ж.
3.5. Каноническая сопряженность в квантовой механике.
Пусть х - одномерный параметр, так что G - 8S является ве-
5-9280 65
щественной прямой R (случай параметра сдвига), или единичной окружностью
Т (случай параметра поворота), и пусть х Vx-e-ixA - унитарное
представление группы С в Ж. Спектр Л оператора А содержится в
двойственной группе G, которая совпадает с R в случае G = R и с
множеством целых чисел Z в случае G = T.
Условие ковариантности обобщенной наблюдаемой М имеет вид
V*M{B)Vx=M(B-x)- fietf(G), a:6G, (3.9)
где В-х = {у \ у-\-х?В}, причем в случае G = Т имеется в виду сложение по
модулю 2л. Вводя операторы
Uy= ^ е1УхМ (dx), убО,
а
получаем, что (3.9) равносильно соотношению Вейля (см. п. 1.2.3)
UyVx = eiiaVJJy\ x?G, yeG, (3.10)
в котором, однако, операторы Uy, вообще говоря, неунитарны.
В этом смысле обобщенная наблюдаемая М является канони-
чески сопряженной к наблюдаемой А.
Для обобщенной канонической пары (А, М) имеет место соотношение
неопределенностей [100]
A"(i/)-Ds(4)>l/4; yeG, (3.11)
где As (У) ~У~2{\ Tr SUy j-2- 1}, уФ0, есть некоторая функциональная мера
неопределенности ковариантной обобщенной наблюдаемой М в состоянии S (см.
[43, § IV.7]). Если G = R и М имеет конечную дисперсию D.v (М), то lfm As
(i/) = Ds (М),
у -*¦ 0
так что из (3.11) следует обобщение соотношения неопределенностей
Гейзенберга
DS(M) Ds(/l)>l/4.
Для параметра поворота (G = T) дисперсия не является адекватной мерой
неопределенности, и неравенство (3.11) следует рассматривать как
окончательное. Различные формы соотношения неопределенностей для угловых
переменных обсуждались в обзорах [19], [17]. Следует отметить, что
обобщенная наблюдаемая угла поворота существует всегда, поскольку условия
предложения 1 из предыдущего пункта выполняются автоматически (G=Z). С
другой стороны, условия предложения 2 не могут быть выполнены, если dim
(как для систем с ко-
нечным спином), и в этих случаях обычной наблюдаемой угла поворота не
существует.
Наибольший интерес представляют ковариантные обобщенные наблюдаемые,
имеющие минимальную неопределенность.
66
Теорема ([100]). Пусть 5 = |г|)><г|)|-чистое состояние, тогда
min As (У) = У~2
В частности, для G = R
min D5(M)=?(^r||ii;(y)]|)1!dy, (3.13)
Mg^R.VcR) ^ y 1
где г|з(г/)-компоненты вектора -ф в представлении, диагонали-зующем
оператор А. Минимум достигается на ковариантной наблюдаемой М* класса
STOcG'y, которая задается ядром Р*(у,у') таким, что Р*(у,
у')$(у')/Ц(у')\\=У(у)/Щу)\\-, у, у'*А.
Величины (3.12), (3.13) дают внутреннюю меру неопределенности
параметра х в состоянии 5.
Таким образом, требования ковариантности и минимальной
неопределенности (относительно чистых состояний) определяют канонически
сопряженную обобщенную наблюдаемую однозначно с точностью до
калибровочного преобразования (3.7). Следует отметить, что аналогичная
степень произвола остается и в стандартной формулировке квантовой
