Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
зависимость байесовского риска от весов g\, g2 также имеет существенно
нелинейный характер.
2.5. Квантовые неравенства Рао-Крамера. Рассмотрим задачу оценивания
в семействе состояний {5е}, где 0=(9ь ...
..., 0ft)6R\ Решающее правило М назовем несмещенным, если
57
для всех 060
XjpgidXi.. ,dxk) = Qj', у = 1,..k.
В предположении конечности вторых моментов определена матрица ковариации
De{M}= ... §(¦*<-0г)(•*,' -0;)Ре1 {dxx...dx,k) ]; i, У= 1, .. .,k.
В классической статистике хорошо известно неравенство Рао- Крамера,
ограничивающее снизу матрицу ковариации несмещенных оценок. Входящая в
эту границу информационная матрица Фишера однозначно определяется
метрической геометрией симплекса "классических состояний", т. е.
распределений вероятностей на пространстве элементарных событий Q [50]. В
квантовой статистике имеется много неэквивалентных неравенств типа Рао-
Крамера, что связано с существенно более сложной геометрией множества
состояний.
Поскольку неравенство Рао-Крамера имеет локальный характер, достаточно
предполагать, что семейство состояний определено в окрестности
фиксированной точки 0. Введем вещественное гильбертово пространство
L2(Se), определяемое как пополнение множества 3Л(<Ж) ограниченных
вещественных наблюдаемых относительно скалярного произведения
(X, y>e = ReTr ySeX-TrSeXoF, (2.15)
где X°Y=j (XY-{-YX)-йорданово произведение X, У. Предположим, что
1) семейство {56} сильно дифференцируемо в точке 0 как функция со
значениями в %(Ж)\
dSf)
2) линейные функционалы X-VTr^g-X непрерывны относительно
скалярного произведения (2.15).
При этих условиях по теореме Ф. Рисса существуют сим-метризованные
логарифмические производные LeJ'6L2(5e), определяемые из условий
Тгж>7 А'= < ^ * > ' *е(r)*(50). (2.16)
Формально,
ЖГ=5е°^- (2Л7)
Тогда для любого решающего правила М, имеющего конечные вторые моменты и
удовлетворяющего условию локальной
58
несмещенности Г С ^О1
J ' "' j ~dOj {dx\... dxk) = 6jj", i, j= 1, ..., k, (2.18)
^{э1 dSq
где !щ (5) = Tr (В), имеет место неравенство
Do {M}> Jq"1. (2.19)
Здесь J0 = [(Le', LeJ)e]iii=i.- вещественная симметричная
матрица - аналог информационной матрицы Фишера для сим-метризованной
логарифмической производной.
С другой стороны, введем комплексные гильбертовы пространства
L±2(Sfi) как пополнения $д(Ж) относительно скалярных произведений
<J, F>e+=Tr J*SeF, а, К>е-=Тг FSeX*
и определим правую и левую логарифмические производные Le±j как решения
уравнений
Тг ( Lb1, X ) в, Х&(Ж),
(существующие при тех же условиях 1), 2)). Формально
_о т + j_r ~j'с
^0 . *^0-^9 ' ^6 *^0*
Тогда, при условии (2.18)
De{M}> (jf)-1, (2.20)
где Je1 = [ < Lq1 , Lqj ) о ]",y=i,...,* - комплексные эрмитовы матрицы,
и (2.20) рассматривается как неравенство для эрмитовых матриц.
Формальное определение (2.17) симметризованной логарифмической
производной и неравенство (2.19) принадлежит Хел-строму, а неравенство
(2.20) -Юну и Лэксу (см. [37, гл. VIII]). Другие неравенства были
получены Р. Л. Стратоновичем [155]. Математически корректные определения
логарифмических производных и вывод соответствующих неравенств дан в
книге [43, гл. VI]. Пространства L2, ассоциированные с квантовым
состоянием, полезны и в других вопросах. Элементы этих пространств могут
быть интерпретированы как (классы эквивалентности) неограниченных
операторов в Ж ([43, гл. II]).
Неравенства (2.19), (2.20) дают существенно различные, несравнимые
границы для De{M}. В случае одномерного параметра (&=1) всегда
причем равенство имеет место тог-
dS 0
да и только тогда, когда [*Se, ^д- ] = 0. В этом случае неравенство,
основанное на симметризованной логарифмической произ-
59
водной, оказывается наилучшим [37, гл. VIII]. С другой стороны, для
двупараметрического семейства гауссовских состояний (2.14) неравенство
(2.19) дает Tr D0{M}^2 о2, тогда как из (2.20) вытекает Tr D0{M}^2ct2+1.
Последняя граница достигается для несмещенных оценок, определяемых
операторами типа (1.7). Неравенство (2.20), основанное на правой (или
левой) логарифмической производной, вообще лучше приспособлено к задачам
оценивания, в которых параметр допускает естественную комплексификацию (в
последнем примере 0 = = а+ф).
Выражение
d(51,52)=Vr2(l-llK5;V^||i)
определяет метрику в множестве операторов плотности <3(Ж). В более
широком контексте алгебр фон Неймана эта метрика, известная как
