Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
расстояние Бюреса, подробно изучалась Араки, Ульманом и др. (см. обзор
Раджио в [141]). Если {56} - семейство, удовлетворяющее условиям I), 2),
то при Д6-"-0
k
d(5g, 50+Ae)2"i- ^ U ) е Д&Деу. (2.21)
lJ=1
Таким образом, расстояние Бюреса эквивалентно в малом ри-мановой
метрике, определяемой квантовым аналогом информационной матрицы Фишера.
Е. А. Морозова и И. Н. Ченцов в [35] описали всевозможные римановы
метрики в <В(Ж) (<ИтЖ<.°°), монотонно инвариантные в категории марковских
морфизмов (аффинных отображений <5(Ж) в себя). Минимальной в этом классе
является риманова метрика в правой части (2.21).
§ 3. Ковариантные наблюдаемые
3.1. Формулировка проблемы. Пусть G - локально компактная группа,
действующая непрерывно на транзитивном G-пространстве 96 и V : g-vVe,
g?G,- непрерывное (проективное) унитарное представление группы G в
гильбертовом пространстве Ж. Разложение единицы М :В-*-М(В), BG3S(9?) в Ж
ковариантно по отношению к V, если
vg*M{B)vg=M{g-'B)- gtG, B*gt{se). (з.1)
В квантовой механике 96 является пространством значений физического
параметра (обобщенной координаты) х, обладающего группой симметрий
(движений) G. Фиксируем х^96 и оператор плотности 50. Соотношение
VVSqI/Д где x = gx0, (3.2)
60
описывает преобразование квантового состояния, отвечающее движению g.
Рассмотрим обобщенную наблюдаемую М, удовлетворяющую условию
ковариантности (3.1), и пусть (i,(tm) (В) = = TrS*M(5)-ее распределение
вероятностей в состоянии S*. Тогда условие (3.1) равносильно следующему:
вея(я?), g€Q, (3.3)
для любого состояния SQ. Это означает, что статистика наблюдаемой М
преобразуется согласно движениям g в пространстве обобщенной координаты
86 (см. пример в п. 1.2.3). Условие ковариантности, таким образом, дает
правило для установления соответствия между классическими параметрами и
квантовыми наблюдаемыми.
Такое соответствие является, конечно, далеко не однозначным. Среди
множества ковариантных обобщенных наблюдаемых основной интерес
представляют те, которые описывают предельно точные измерения
соответствующего параметра. Рассмотрим задачу оценивания параметра х^86 в
семействе состояний (3.2). Пусть на множестве 86 = <д задана функция
отклонения We(x), такая что Wgi (gx) = We (х). Среднее отклонение
Зге{М}= \w6(x)^{dx) (3.4)
зе
при условии (3.1) не зависит от 0. Минимум аффинного функционала (3.4)
достигается в крайней точке выпуклого множества 9WG,V (86) ковариантных
обобщенных наблюдаемых. Обозначим 2Jl0G,v (96) подмножество ковариантных
наблюдаемых, задаваемых ортогональными разложениями единицы. Проблема
соответствия в математическом плане сводится к изучению запаса элементов
и структуры множеств 9W0G,V (96), 9WG v (86). В общем случае
aWo°'V(a?)f-Extr Шау (86).
Целый ряд парадоксов в стандартной формулировке квантовой механики
обусловлен тем, что множество 2Jloc,v(86) оказывается пустым. С другой
стороны, Extr 9WG' v (96) имеет значительно более обширный запас
элементов, среди которых и находится обобщенная квантовая наблюдаемая,
отвечающая данному классическому параметру.
3.2. Структура ковариантного разложения единицы. При специальных
предположениях относительно G, 96, V можно дать прямое решение уравнения
ковариантности (3.1), проливающее свет и на общий случай.
Пусть G - унимодулярна, a G0=G/96 компактна, тогда на G существует a-
конечная инвариантная мера (х, а на 96 конечная инвариантная мера v,
такая что v(B) = ji(Ar1 (В)), где Ь : g~+gxо.
61
Теорема ([78], [43]). Пусть V-конечномерное представление группы G.
Для любого ковариантного разложения единицы М найдется положительный
оператор Р0, такой что [Ро, Vg]=0, ?GG0 и
М (В) = j P(x)v(dx),
в
где плотность Р(х) определяется соотношением
P(gx0) = VgP0Vg* (3.5)
Доказательство. Из тождества
J Тг VgSV*gM (В) t* (dg) = v (В), (30),
а
(см. [43, гл. IV]), полагая S= (dimЖ)_11, получаем ТгМ(В) = = (dim
2%>)~Ч{В). Поэтому существует плотность Р(х) со значениями в .
Соотношение (3.5) вытекает из условия ко-
вариантности.
Ограничение на Р0, вытекающее из условия нормировки M(S/)= I, иногда
удается выразить явно. Очень просто устроено множество 2JZGV (%?) в
случае, когда V есть неприводимое квадратично-интегрируемое представление
(dim<2^^+oo) унимодулярной группы G = 9u. Из соотношений ортогональности
для V (см. [126]) следует, что при надлежащей нормировке pi
{j
G
для любого оператора плотности So. Таким образом, формула
M(B)=^VeS0V*gV,(dg)
в
устанавливает взаимно однозначное аффинное соответствие между 2JlG V (G)
