Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Стайнспринга.
1.2. Операции, динамические отображения. Алгебра %{Ж) как банахово
пространство является сопряженным к пространству ядерных операторов Z(M)
(см. п. 1.1.1). Если - линейное отображение в %(Ж), положительное в том
смысле, что Ч^Т]^0, если 7^0, то ограничено (см., например, [78, гл. 2])
и поэтому имеет сопряженное отображение ф=Ч/* : 8(3ё)-*--йЭ(Ж), которое
является линейным положительным нормальным отображением; более того,
всякое Ф с такими свойствами является сопряженным к некоторому Ч7. Если
Чг положительно
и, кроме того, ТгЧ^[Т]^ТгТ для всех T&t(36), Т^О, то Чг на-
71
зывается операцией (в пространстве состояний). Это равносильно тому, что
Ф[1]^1. Отображение Ф также называется операцией (в алгебре наблюдаемых).
В квантовой статистике операции описывают изменения состояний
(наблюдаемых) открытой системы в результате эволюции или
макроскопического воздействия, включая отбор по ка-кому-либо признаку
(например, по результату измерения) в соответствующем статистическом
ансамбле. Если S- оператор плотности исходного состояния, то число Tr^S]
интерпретируется как доля отобранных представителей ансамбля, а ^[SJ/Тг
^[S] как оператор плотности, описывающей новое состояние отобранного
ансамбля. Термин "операция" был введен в известной работе Хаага и
Кастлера (1964), посвященной обоснованию квантовой теории поля.
Базирующийся на понятии операции аксиоматический подход к квантовой
механике был развит Дэвисом и Льюисом, Людвигом и другими авторами (см.,
например, [78], [125], [116], [85]).
В динамической теории особенно важны операции, переводящие состояние
в состояние. Это равносильно тому, что Тг Чг[7'] = Тг Т для всех Т?%(3ё)
или же ф[1] = 1, где Ф=ЧГ*. Если, кроме того, Ф - вполне положительно, то
Y (или Ф) называется динамическим отображениемп. Из теоремы Вигнера (п.
1.2.1) следует, что обратимые динамические отображения описываются
формулами
4T[T]=UTU*, Ф [X} = U*XU, где U - унитарный оператор в
Ж (если U антиунитарный, то Ф не может быть линейным отображением). В
общем случае динамические отображения описывают необратимые эволюции и
являются некоммутативным аналогом марковских отображений в теории
вероятностей. Мерой необратимости может служить относительная энтропия
квантовых состояний H(S2\Si) =Тг Si (In St-In S2).
О свойствах относительной энтропии см. Линдблад [122], Верль [166], Петц
[139]). Важнейшим является обобщенная //-теорема: для любого
динамического отображения Ч7: //(4r[S2]|'P[S,])>^(S2|SI).
Согласно следствию из п. 1.1, динамическое отображение допускает
представление
со со
vnTV*, Ф[*] = 2 V'nXVn,
л=0 п=0
оо
где 2 V*yn = \. Отсюда нетрудно получить
п=0
*> На свойство полной положительности эволюции открытой системы, было
указано, в частности в работах [117], [39].
72
Следствие ([123]). Отображение Ч*- : %{Ж)-*%{Ж) является динамическим
тогда и только тогда, когда существуют гильбертово пространство Жо,
состояние 50 в Жо и унитарный оператор U в Ж=Ж(r)Ж0, такие что
4r[S] = Tr*o?/(S(r)S0)?/*,
где Тгг/бъ~ частичный след в Жо.
Таким образом, динамическое отображение расширяется до обратимой
эволюции составной системы, включающей исходную открытую систему и
"окружение", причем возможность такого расширения обусловлена свойством
полной положительности.
1.3. Условные ожидания. Так называются отображения 8 : $5{Ж)-+Ъ(Ж),
являющиеся идемпотентами (82=8) с единичной нормой. & отображает 29(Ж) на
С*-подалгебру Я= {Х:Х?$)(Ж), ё?[Х]=Х}. Если <В нормально, то 51 - алгебра
фон Неймана. Условное ожидание согласовано с состоянием 5, если Tr S<o[X\
= Tr SX\ Х^Ъ{Ж). Томияма показал, что условное ожидание является
положительным отображением и обладает свойством
ff(XYZ)=Xg(Y)Z\ УбЗЗ (Ж); Х,1Ш,
которое включалось в первоначальное определение, данное Умегаки [158]. На
самом деле всякое условное ожидание вполне положительно.
Общий критерий существования нормального условного ожидания в
алгебрах фон Неймана дал Такесаки [157]. В случае Ъ{Ж) этот критерий
имеет следующую формулировку. Пусть 5 - невырожденный оператор плотности,
тогда с ним связана модулярная группа автоморфизмов(c)^)
a/[^] = S<'^S-if; Х&(Ж), /6R.
Условное ожидание <S на подалгебру 31 аЪ(Ж), согласованное с состоянием
5, существует тогда и только тогда, когда Я инвариантна относительно а(.
В частности, это выполняется, если [5, Х] =0 для всех ХаЯ.
Пример нормального условного ожидания (усреднение по подсистеме
составной системы) был дан в п. 1.3.1. Приведем другой важный пример.
Пусть (.Еп}- ортогональное разложение единицы в Ж. Тогда
ОО
&\Х\=^ЕпХЕп (1-5)
П = 1
является нормальным условным ожиданием на подалгебру 91 операторов вида
