Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
где г|з(е,,)-векторы состояний системы со спином */2 (см. п. 1.1.6),
причем ek, k=\, 2, 3, образуют правильный треугольник. Тот факт, что
(1.9) является крайней точкой, можно установить непосредственно, либо
воспользовавшись критерием из статьи Штермера в [85]: конечное разложение
единицы М = = {Мь . . Л4т} является крайней точкой тогда и только тогда,
m
когда для любых Хи . . . , Хт&Ь(Ж) из 2 E{X{Ei = 0 следует
i=i
Е{Х{Е( - 0, где Et - носитель Ми т. е. проектор на ортогональное
дополнение к нулевому подпространству Mt. Если dim5f?<oo, то из наличия
крайних точек, не попадающих в Шо(36), следу-ет, что Conv Шг0(36)
?=ЗЯ(36).
Интересный пример крайней точки дает неортогональное разложение
единицы (1.6).
Такие наблюдаемые, называемые "эффектами", играют центральную роль
в аксиоматическом подходе Людвига [125], [118].
48
Доказательство того, что Tlo(S?) =Tl(SZ?) в случае dim 36= = 00,
основывается на теореме М. А. Наймарка. Пусть MG24(95) и -
последовательность конечномерных проекторов в 36,
сильно сходящаяся к I. Тогда М{п) (В)=РЫ)М(В)Р''п) - разложение единицы в
конечномерном пространстве 36{п) = Р{п)36, которое можно расширить до
ортогонального разложения единицы Е<п) в сепарабельном гильбертовом
пространстве 36{п)^ ^з36[п). Поскольку dim 36 = 00, можно считать, что
36{п)~36. Имеет место оценка
var(jis<n)-(Xs)<6|| (I-/5(п))5||ь
где pis(n)(S) =Tr SE{n)(B), jxs(5) =Tr SM(B) [44], доказывающая
утверждение. Итак, в случае dlm36=oo, все обобщенные наблюдаемые являются
предельными точками множества наблюдаемых.
§ 2. Квантовая теория статистических решений
2.1. Проверка гипотез. В гильбертовом пространстве 36 наблюдаемой
квантовой системы заданы операторы плотности 5е; 0=1, ..., т, описывающие
одно из возможных состояний системы. Выбор одной из гипотез 0=1, ..., т
осуществляется на основе решающего правила, задаваемого разложением
единицы М={МЬ ..., Мт}. При этом вероятность принятия гипотезы и - = 1,
..., т., если система находится в состоянии 5е, равна
(и) = Тг SeMu. (2.1)
Как и в классической статистике, задается некоторый функционал от
вероятностей (2.1) и вопрос состоит в нахождении экстремума этого
функционала в том или ином классе решающих правил. В физических задачах
квантовая система является носителем информации, состояния которого Se
зависят от "передаваемого сигнала" 0. "Приемник" осуществляет квантовое
измерение, статистика которого описывается разложением единицы М в 36.
Речь идет об отыскании квантовых ограничений на качество измерения и о
его оптимизации.
При байесовском подходе задаются априорные вероятности гипотез яе и
функция отклонения W"(u)\ 0, и - 1, ..., т. Байесовский риск определяется
обычной формулой
т fh
(2-2)
0=1 и=1
Решающее правило, минимизирующее Я{Щ, называется байесовским. Часто
рассматривают случай We(u) = 1-б6и и ne = = Vm. Тогда речь идет о
максимизации средней вероятности
4-9280
49
правильного решения
т
=12*0 (в)- (2-3>
е=1
что является дискретным аналогом метода максимального правдоподобия.
Наконец, важной мерой качества решающего правила является шенноновская
информация
м
т т I-Iq (и)
2{Щ=ул0у (") In . (2.4)
Первоначальная постановка квантовой задачи различения гипотез
(Хелстром, 1967) основывалась на стандартном квантово-механическом
формализме, в соответствии с которым решающие правила описывались
ортогональными разложениями единицы. Формулировка квантовой теории
статистических решений, основанная на обобщенных наблюдаемых, была
предложена А. С. Холево (1972). Обозначим класс всех решающих правил JV\
= {.Mj, ..., Мт), 2Л]-класс классически-рандО' мизированных правил (т. е.
таких, что M}Mh=MJAj) и Ко - класс детерминированных решающих правил
(MjMk = bJkM}).
Пример ([38]). Рассмотрим задачу различения равновероятных гипотез
5е=Жев)>ОИе0)|; 0=1, 2, 3,
где 'ф(ее)-векторы состояний системы со спином 1/2, возникающие в (1.9).
Тогда
max & {М} = шах & {М} = -^- (2 + У^З ) < |-=niax & {М},
ЗКо ЭК, зя
причем максимум достигается на решающем правиле (1.9). Более того,
шах f {М} = шах/ {М} < max f {М}.
ЗЯ. Wi 33?
Этот и другие подобные примеры (см. [80]) демонстрируют неожиданный с
классической точки зрения факт: квантовая
рандомизация может увеличивать информацию о состоянии системы. Хотя этот
эффект проявляется только в конечномерных гильбертовых пространствах (см.
