Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 25

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 64 >> Следующая

предыдущий пункт), он ясно указывает на необходимость использования
обобщенных наблюдаемых.
2.2. Байесовская задача. Байесовский риск (2.2) представляется в
виде
т
Я{М} = Тг2^иМи,
а=1
50
где №и = 2 л0Й^в(и)Se -операторная апостериорная функция
0=1
отклонения. Поскольку 52{М} -- аффинный функционал на выпуклом множестве
9R, задача о его минимизации может быть рассмотрена с помощью методов
линейного программирования.
Теорема (А. С. Холево, Юн). Имеет место соотношение двойственности
min52{M}^max{Trл:Лб?(<2?), Л<\^и; и=1,..., т\. (2.5) ЭЛ
Следующие утверждения эквивалентны:
0) М° = {/Иц0}--байесовское решающее правило;
1) существует Л°6?(<2^), такой что
Л°<ГЦ; {Wu~A°)Ma° = 0; и=\,...,т;
т
2) оператор л°=2Ф'цМи° эрмитов и Л°<1ГЦ; и-\,...,т.
и=1
Задача в правой части (2.5) имеет единственное решение, которым
является оператор Л°, входящий в условия 1), 2).
Наиболее часто используется достаточность условия 1), которая
доказывается элементарно: для любого М = {Ми}
т пг т
& {М} = Тг 2и-Ми > Тг Л 2 и0 = Tr ^ WUM и° = & {М0}.
и-\ и=1 и~1
С помощью этого условия легко проверяется оптимальность решающего правила
(1.9) в примере предыдущего пункта,
Пример 1. Пусть операторы Wu - Wv\ и, v - \,.. qt* перестановочны, т.
е. Wu = C-\-Wua, где Wa° - перестановочные операторы. Тогда существует
самосопряженный оператор X и функции Wa°(x) на R, такие что
Wu°=Wk°(X).
Пусть {$?*} - разбиение R, такое что W k° (х) <W f (х) при
x?S??k, j^k, и положим A°=C-fmin#ft°(A'), М?=\вр (X).
k
Тогда условия 1) выполнены. Если С = 0, то это соответствует вычислению
байесовского решающего правила в классической статистике: правило
является детерминированным и для каждого х предписывает выбирать решение
и, для которого апостериорное отклонение Wu{x) минимально [37, гл. IV].
Пр и м е р 2. Условия предыдущего примера автоматически выполняются в
случае двух гипотез 50, Si. Для простоты рассмотрим функцию потерь №е(")
= 1-беи, так что речь идет о-
4*
51
минимизации средней ошибки. Байесовское решающее правило имеет вид
Мо= 1(0,оо)(яс50 'Л4[= 1 ^-00,01 (л-о^о
и минимальная ошибка
91 {М°} = у(1 - ||я050 -я^ || ]).
Если S0, Si - чистые состояния с векторами гр0, ipj, то
Ж{М°} = | (1 -1/1 - 4я0я, | < г1)01 гр! > f2).
В общем случае уравнения оптимальности сводятся к сложной нелинейной
задаче, часто геометрического характера. Много интересных явно решаемых
случаев, в которых условия примера 1 не выполняются, рассмотрено
Хелстромом [37], Р. Л. Стратоновичем [155] и В. П. Белавкиным [63].
Остановимся на задаче различения т чистых состояний с линейно
независимыми векторами и априорными вероятностями Яе>0. Можно считать,
что Ж порождается векторами гре; 0=1, ... ,т. Кеннеди показал, что в этом
случае байесовское решающее правило имеет вид
Ми= \еи}(еи\; и = \,. .., т, (2.6)
где {еи} - некоторый ортонормированный базис в Ж (см. [37, гл. IV]).
Таким образом, задача сводится к нахождению орто-нормированного базиса,
наилучшим образом приближающего систему {ip"} в смысле критерия
"п
Я{М) = 2ло(1-|<^в|ео>|2)- (2.7)
0=1
В [63] из общих условий оптимальности 1), 2) получено нелинейное
уравнение для базиса {еи} и указан случай, когда оно решается явно. Пусть
диагональные элементы матрицы Q172,
где Q = [Y3tint<i|3j|iJ)ft)]J-, т, совпадают и равны Уд. Тогда
оптимальный базис
т
€k == ^ jktyj I
где [Ajft]=QI/2, причем минимальная ошибка
min 52{М} = 1-mq.
В частности, в "равноугольном" случае, когда |гря>==7 ПРИ j^=k, а я0 =
1/т, получается формула Юна-Лэкса
min 91 (М) = (1/l+(OT_l)T _ )2.
52
А. С. Холево заметил [42], что в случае равновероятных чистых
состояний имеет место оценка
т
Я{МК^2||гре-ее!12.
0=1
Базис, минимизирующий правую часть, имеет вид
т

(2.8)
где [ау*] = Г 1/2 и Г = [ < г|з; | грй ) ], причем
т
{ее} о=л
(теорема М. Г. Крейна). Отсюда
min 2 11 - е01| 2 = Tr (I - Г1 /2)2 =
2Tr (I - Г1 /2)
шт^{М}<-1тг(1-Г1/2)2.
(2.9)
Решающее правило, отвечающее базису (2.8), асимптотически оптимально в
пределе почти ортогональных состояний, Г->1, причем правая часть в (2.9)
дает первый член асимптотики. В "равноугольном" случае (2.9) обращается в
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed