Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
неизвестно, достигается ли здесь равенство для неперестановочных
операторов плотности 5е.
2.4. Общая формулировка. Как и в классической теории статистических
решений [50], задается множество значений 0 неизвестного параметра 0,
множество SB решений х (часто 36 = (r)) и функция отклонения We(x),
определяющая качество решения х при данном значении параметра 0.
Множество S6- измеримое (обычно стандартное) пространство и We(x)
ограничена снизу и измерима по х при фиксированном 060.
Каждому значению 0 соответствует оператор плотности 5е в гильбертовом
пространстве рассматриваемой квантовой системы, а решающее правило
задается разложением единицы М :•$(???)-й9(<5$?) в Ж. Ортогональные
разложения единицы описывают детерминированные решающие правила. При
данном значении параметра 0 и данном решающем правиле М решение
выбирается в соответствии с распределением вероятно-
55
стей
$ (в)=тг seM (ву, ве@ {%).
Среднее отклонение, определяемое формулой
52е{М}= J We (x)^(dx),
$е
является для каждого 06(c) аффинным функционалом на выпуклом множестве
решающих правил Wl(S?).
Решающее правило называется байесовским, если оно минимизирует
байесовский риск
{М}= jj^o{M}n(tf0)
0
для данного априорного распределения л на (c), и минимаксным, если оно
минимизирует максимальное среднее отклонение шах5?е{М}. Как классическая,
так и квантовая теории статисти-
е
ческих решений включаются в общую схему, в которой состояния описываются
точками произвольного выпуклого множества (c), причем значительная часть
результатов классической теории Вальда переносится на эту схему, достигая
естественных границ общности (А. С. Холево [41]). При минимальных
требованиях на функцию отклонений установлены общие условия существования
байесовского (Озава [133]) и минимаксного решающих правил, полнота класса
байесовских решающих правил (Н. А. Богомолов [8]), аналог теоремы Ханта-
Стейна [43], [8]. Обобщения понятия достаточности изучали Умегаки [158],
А. С. Холево [41], Петц [139]. В силу ограниченности понятия условного
ожидания, в квантовой теории статистических решений достаточность играет
гораздо меньшую роль, чем в классической, зато на первый план выходят
свойства инвариантности относительно подходящих групп симметрий (см. §
3).
На основе соответствующего аппарата интегрирования в [41] получены
необходимые и достаточные условия оптимальности и соотношение
двойственности в байесовской задаче с произвольными (c), S6, обобщающие
теорему из п. 2.2. Эти условия позволяют, в частности, дать исчерпывающее
решение многомерной байесовской задачи оценивания среднего значения
гауссовских состояний (В. П. Белавкин, Б. А. Гришанин [5], А. С. Холево
[41]), которое иллюстрируется здесь одним примером.
В задаче оценивания является конечномерным много-
образием, в частности, областью в R". В этом случае детерминированное
решающее правило может быть задано набором совместимых вещественных
наблюдаемых Х\,...,Хп в Ж. Согласно п. 1.2, произвольное решающее правило
задается на-
56
бором совместимых наблюдаемых Х\,...,Хп в расширении Ж вида Ж(r)Ж0, где Жо-
вспомогательное гильбертово пространство с оператором плотности So. При
таком способе задания решающее правило называется оценкой многомерного
параметра
0= (0i.....0"). В квантовой задаче оценивания, в отличие от
классической, байесовские оценки могут оказаться существенно
недетерминированными.
Пример. Пусть {Sa)fi; (a, P)6R2}- семейство гауссовских состояний
(см. п. 1.2.4) с характеристической функцией
Тг Sa,3 exp \i (Рх + Qy)] = exp \i (ax + py) -
-^U2 + y2)]; U, y)eR2, (2J4)
i
где P, Q - канонические наблюдаемые, o2^^- Рассмотрим байесовскую задачу
оценивания параметра 0=(а, ^) с функцией отклонения
Wa,a(a', Р') = ?, (a - a,)2 + Sr2(p - Р')2
и гауссовским априорным распределением вероятностей с плот" ностью (2я)-1
ехр ^ (а2 + р2)^. Решение этой задачи качест-
венно зависит от величины gi/g2. Если gjg2< (2s2)-2 или g\/g2> >(2s2)2,
где s2 = a2 + ^o' т0 байесовские оценки детерминированы, т. е. задаются
парой перестановочных самосопряженных операторов А, В в Ж. В первом
случае A - Р, В -0, а
/ Сто \2
во втором Л = 0, В=\- Q. Если же (2s2) 2< gx/g2< (2s2)2,
\ s /
то оценки задаются перестановочными операторами
A = k 1 (Я(r)10) +А2(1(r)Я0)5 B = k2(Q(r)\) - kx (I(r)Q0)
в Ж(r)Ж0 (ср. (1.7)), где kx, k2 -¦ коэффициенты, нелинейно зависящие от
s2, gi, g2, а оператор плотности 50 в Ж0 гауссовский и имеет
характеристическую функцию
Тг S0 exp [i (Р0х тЬ Q0y)} =
Соответствующее разложение единицы в Ж отличается от (1.7) линейной
заменой переменных. В отличие от аналогичной классической задачи,
