Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
формулировкой квантовой механики.
Пример. Векторы состояний минимальной определенности (1.2.15) образуют
переполненную систему в 36=L2(R), т 2я
([12], [21]), что позволяет определить обобщенную наблюдаемую со
значениями в R2
= (^x,v\dxdv. (1.6)
в
Укажем конструкцию, которая связывает М с приближенным совместным
измерением координаты и скорости квантовой частицы. Пусть 36q = L2(R), Ль
Qo - канонические наблюдаемые в Ж0 и 50= |t|>o,o><^o,o|-основное
состояние в 36а. Самосопряженные операторы
Q = Q(r)I0-1(r)Q0, ±Р = ±[Р(r)\0 + \(r)Р0] (1.7)
в 36(r)36ъ перестановочны1', а значит, имеют совместную спектральную меру
E(dxdv). Используя аппарат характеристических
На это указал Н. Бор в статье "О понятиях причинности и
дополнительности" (1948) (см. Избранные научные труды.-¦ М.: Наука,
1971.- 2.- С. 391-398).
) < tyx,v\dxdv = \
46
функций из п. 1.2.4, можно доказать, что для любого состояния-
S распределение вероятностей обобщенной наблюдаемой (1.6)'
Ps (•(r))==2iT ^ ^ ^x'v I ) dxdv
в
удовлетворяет соотношению (1.5), т. е. совпадает с совместным:
распределением вероятностей наблюдаемых Q, Р1т в состоянии. S<8)S0 (см.
[43, гл. 3]). Относительно приближенных измерений Q, Р см. также [78],
[37], [159] и цитированные там работы.
1,3. Геометрия множества обобщенных наблюдаемых. Аналогом
обобщенной наблюдаемой в классической статистике является рандомизованная
случайная величина, т. е. переходная вероятность П(В|со) из пространства
элементарных событий й в пространстве значений X. Будем далее
предполагать, что 96- стандартное пространство. Тогда соотношение
П(А|<о) =Uf (<¦>)); (c)6Q,
устанавливает взаимно однозначное соответствие между случайными
величинами \ со значениями в 96 и детерминированными переходными
вероятностями, такими что П(В|(й)=0 или 1, т. е. П(В | со)2 = П(В | со).
Переходные вероятности из й в 96 образуют выпуклое множество, крайними
точками которого являются детерминированные переходные вероятности и
только они (см., например, [41, гл. II]).
Соотношение между наблюдаемыми и обобщенными наблюдаемыми в квантовом
случае значительно сложнее и интереснее. Обозначим Ш($&) выпуклое
множество обобщенных наблюдаемых со значениями в 96, Extr
множество его край-
них точек, Conv9Jt выпуклую оболочку подмножества аЛсЗTl(S6). В ЯЯ(9?)
вводится естественная топология: последовательность {M(n)}czWl(9!?)
сходится к М, если для любого состояния 5 последовательность
вероятностных мер" ця(п) (В) =Tr SAf<n) (В) сходится по вариации к [i8(B)
= =TrSAf(B); 971 означает замыкание подмножества 9Л в этой топологии.
Пусть 9Ло{96)-подмножество обычных наблюдаемых и -подмножество
обобщенных наблюдаемых М, таких
что [М(В{), М(В2)} = 0 для всех В{, В2^(96). В работе А. С.Хо-лево [38]
показано, что тогда и только тогда, когда
М(В)= П(В\х,)Е {dx,), (1.8)
85%
где Е - наблюдаемая со значениями в некотором пространстве 961, n(Bjxi) -
переходная вероятность из 96 \ в 96. По аналогии с классической
статистикой, наблюдаемые, описываемые ортогональными разложениями единицы
Е (Е(В)2 - Е(В)), можно рассматривать как детерминированные (более точное
обсуждение см. в [101]). Наблюдаемые из кото-
47
рые задаются перестановочными разложениями единицы, являются классически-
рандомизованными в том смысле, что М$Ш\(36) получается из обычной
наблюдаемой путем преобразования (1.8), содержащего внешний классический
источник неопределенности. Всякую обобщенную наблюдаемую МбШ(36) можно
рассматривать как квантово-рандомизованную в смысле представления (1.5):
она эквивалентна обычной наблюдаемой в расширении исходной системы,
включающем независимую квантовую систему. Наконец, точки из Extr Ш(96)
представляют собой обобщенные наблюдаемые, в которых неопределенность,
обусловленная процедурой измерения, сведена к минимуму.
Обозначим пг мощность множества значений 36.
Теорема. Если тп= 2, то Ш10 (<§?) = Ext г 29? {$6) и Шх(36) = = Conv
2)J0 (86) = Ш {36). Если т> 2, то Ш0(36)^ Extr Ш(36) и
(<^)SFConv $№0 (36)сШ (36), причем если dim<5^<oo, то
последнее включение точно. Если же dim Ж= оо , то Ш0(36) - = Ш(86).
Таким образом, ситуация аналогична классической лишь в случае
обобщенных наблюдаемых с двумя значениями11. В этом случае M={Af0, Mi},
где Mi = I-М0 и ЧШ(36) как выпуклое подмножество изоморфно порядковому
интервалу {М0 : М0 2Л (Ж), О^Л10<Т}, крайние точки которого совпадают с
проекторами в Ш (см., например, [78, гл. 2]).
Чтобы доказать, что Шо(36) ^Extr Ш(36) при пг>2, достаточно сделать
это в случае пг = 3 и dim 2/6=2 (см. [43, § 1.6]). Рассмотрим
неортогональное разложение единицы
Mh= J |1]з(е*)><1|з(еЛ) |; Л> = 1, 2, 3, (1.9)
