Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(1.5), согласованным с любым состоянием, оператор плотности которого
принадлежит St. Алгебру 91 можно
73
описать также соотношением 5(={?"; п= 1,2,где SW' обозначает коммутант
подмножества Шс$д(Ж), т. е. совокупность всех ограниченных операторов,
коммутирующих с операторами из WI.
Обзор результатов об условных ожиданиях в алгебрах фон Неймана
имеется в статьях Чеккини в сб. [141] и Петца в сб. [143]. В них же
излагается некоторое обобщение понятия условного ожидания, принадлежащее
Аккарди и Чеккини.
§ 2. Квантовые динамические полугруппы
2.1. Определение и примеры. Динамическая полугруппа является
некоммутативным обобщением полугруппы переходных операторов в теории
марковских случайных процессов. Возможны два эквивалентных способа
задания динамической полугруппы- в пространстве состояний и в алгебре
наблюдаемых системы. Квантовой динамической полугруппой в пространстве
состояний называется семейство динамических отображений {Ч^; /6R+}
банахова пространства ядерных операторов Ъ(Ж), такое что
1) 'Ft.'F, = 'Ft+s; t, sGR+;
2) 4ro=Id (тождественное отображение);
3) {Ч',} сильно непрерывна, т. е. lim H'Pjr] - Т ||i = 0 для
любого Т&(Ж).
Из общей теории полугрупп в банаховом пространстве (см., например,
[9, гл. 3]) вытекает, что существует плотно определенный
инфинитезимальный оператор
L J t+o t
Если 'Ft непрерывна no норме, т. e. lim Ц'Рг-ld||=0, то Ж-
t-+о
всюду определенное, ограниченное отображение ? (06). Если S0 начальное
состояние, то функция Sf=1Fi[So] удовлетворяет квантовому марковскому
управляющему уравнениюи
Ж = I' <2Л>
которое является некоммутативным аналогом уравнения Колмогорова-Чепмена.
В физических приложениях динамические полугруппы и возникают как решения
марковских управляющих уравнений.
Динамическая полугруппа в алгебре наблюдаемых -это полугруппа
динамических отображений {Ф,; ^6R+} алгебры
такая что Ф0 = И и w* - lim ФЛ^] = А' для любого Х^Ь^Ж).
/-+о
') Английский термин - master equation.
74
Мы будем в основном рассматривать полугруппы, непрерывные по норме, т. е.
такие, что lim || Ф, - Id 11 = 0.
t -*0
Пример ([116]). Пусть G - сепарабельная локально компактная группа,
g-+Vg - непрерывное унитарное представление G в Ж и {у.,; ?g,R+}-
непрерывная сверточная полугруппа вероятностных мер на G (см., например,
[13]). Соотношения
^ [5] = 5 V'SVfr (dgy, Ф, [X] = 5 VgXVgpt (dg) а
а
задают квантовые динамические полугруппы, соответственно, в г(^) и в
(r)(з&).
В частности, пусть А - эрмитов оператор в М, тогда выражение
оо X-
ТЛ5]=-L- [ e~Tte~iAxSeiAx,
<L J V2nt J
- CO
соответствующее гауссовской сверточной полугруппе на R, определяет
динамическую полугруппу с инфинитезимальным оператором
W[S]=ASA- A2°S. (2.2)
Если U - унитарный оператор, ^>0, то
[SJ = 2 (^e-vUnSU*n
п=0
является динамической полугруппой, отвечающей пуассоновской сверточной
полугруппе на Z, с инфинитезимальным оператором
3Sf[S] =k[USU*-S]. (2.3)
Понятие динамической полугруппы было предложено Косса-ковским [116]
(см. также Дэвис [78]), однако без условия полной положительности,
которое позднее было введено Линдбла-дом [123]. Многие физические примеры
укладываются в общую схему квазисвободных динамических полугрупп, которые
являются квантовым аналогом гауссовских марковских полугрупп. В случае
ККС такие полугруппы характеризуются условием, что они переводят
гауссовские состояния в гауссовские (см. п. 1.2.4). В статистической
механике они описывают необратимую динамику открытых Бозе- или Ферми-
систем с квадратичным взаимодействием (см. обзоры [27], [56]).
2.2. Инфинитезимальный оператор. Требование полной положительности
налагает нетривиальные ограничения на инфинитезимальный оператор
полугруппы. Описание инфинитезималь-ного оператора непрерывной по норме
квантовой динамической полугруппы было получено Линдбладом и, независимо
в случае •dim <^*<00, Горини, Коссаковским и Сударшаном.
7 5
Теорема ([123]). Для того чтобы ограниченное отображение Ж
пространства ZiM) было инфинитезимальным оператором непрерывной по норме
квантовой динамической полугруппы, необходимо и достаточно, чтобы
ОО
jqS]= -ЦН, SJ + ? (LjSL)-L*]LfS), (2.4)
;=I
оо
где Н, Ь^Ъ(Ж), Н=Н* и ряд 2 ^*i^j сходится сильно.
j=l
Первое слагаемое в (2.4) отвечает обратимой эволюции с гамильтонианом
