Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 30

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 64 >> Следующая

и @(<5{?). В частности, крайние точки множества 2JZGV (G) описываются
формулой
Л* (Я) = J IФ (gj > < (g) ln(rf?). (3.6)
в
где i|>(g) = Vgi|5o, а -фо - произвольный единичный вектор в Ж.
Семейство {^(g); gGG) образует переполненную систему, называемую в физике
обобщенными когерентными состояниями (обычные когерентные состояния
отвечают неприводимому представлению ККС и специальному выбору вектора
г|зо, см. п. 1.2.4).
3.3. Обобщенные системы импримитивности. Если М в соотношении (3.1)
ортогональное разложение единицы, то пара (V, М) называется системой
импримитивности. Это понятие, введенное Дж. Макки (см. [126]), играет
важную роль в теории
62
представлений групп: представление V продолжается до системы
импримитивности тогда и только тогда, когда оно индуцировано с подгруппы
GI96. Если же М - произвольное кова-риантное разложение единицы, то (V,
М) называется обобщенной системой импримитивности. Имеет место следующее
обобщение теоремы М. А. Наймарка о расширении.
Теорема ([72], [148]). Пусть G - локально компактная
группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности,
(96, $(95))-стандартное измеримое пространство. Пусть (V, М) - обобщенная
система импримитивности в Ж, тогда существуют изометрическое вложение W
пространства Ж в некоторое гильбертово пространство 36 и система
импримитивности (V, Е) в Ш, такие что
Vg = W*VgW\ М (В) = W*E (В) W.
Если множество {? (В) j В?$ (95), \р6с%>) плотно в Ж, то
(V, Е) унитарно эквивалентно системе импримитивности, продолжающей
представление в 3€=1^^(96, ^), индуцированное с подгруппы G/96
Для иллюстрации рассмотрим пару (V, М), где V-неприводимое квадратично
интегрируемое представление, М дается формулой (3.6). Искомое расширение
в 3@ = L2(G,\i) является модификацией конструкции для произвольной
переполненной системы (см. п. 2.1.1), именно
Vgf(x) = f(gx); Е (В) f (х)-=\в(х) f (х), причем вложение W
действует по формуле W'^(g) = <г|з(g) |г|)>. Подпространство W3@<^L2(G,
(i) связано с воспроизводящим ядром Ж(ц, g')=<$(g) |г|э(?')> = <гЫ V(g-
1g'Ho>. Связь между обобщенными когерентными состояниями и
индуцированными представлениями подробно исследовал Скутару [148]. В
общем случае Каттанео [73] показал, что М имеет ограниченную плотность
Р(х) относительно квазиинвариантной меры fi на 96 тогда и только тогда,
когда подпространство W!№<zzLg? (96, ц) является гильбертовым
пространством с воспроизводящим ядром (со значениями в 33(Ж)).
3.4. Случай абелевой группы. Случай, когда G = 96 - абелева
локально компактная группа, представляет интерес, в частности, в связи с
проблемой канонической сопряженности в квантовой механике. Полное
описание ковариантных разложений единицы для произвольного (непрерывного)
представления V дается в терминах преобразования Фурье; при этом значения
"плотности" Р(х) оказываются, вообще говоря, неограниченны-
L2j?(3t, ц) обозначает гильбертово пространство функций на 9Ё со
значениями в некотором гильбертовом пространстве Ж, квадратично
интегрируемых по мере ц.
63
ми положительно-определенными формами. Излагаемые далее результаты могут
быть получены как прямыми методами гармонического анализа, так и с
помощью теоремы о расширении из предыдущего пункта (см. статью А. С.
Холево в [141]). Обобщение на неабелевы группы типа I дано в работе [46].
Пусть G- двойственная группа, dg- мера Хэйра в G.
Предложение I. 3Dfi0,v (G) ф 0 тогда и только тогда, когда спектр V
абсолютно непрерывен относительно dg.
Если это выполнено, то V разлагается в прямой интеграл факторных
представлений, именно
где Л -измеримое подмножество G, {Ж (А); AgA}- измеримое семейство
гильбертовых пространств с dim,3^(A),>0 для п. в. AgA, причем
V ^ (c)А (?) ф (A) d%, если i|j = ^ (r)г|э(*А,)
Л Л.
Здесь A (g) - значение характера Абй на элементе Сле-
дующее утверждение вытекает из теоремы импримитивности Макки, которая
обобщает теорему единственности Стоуна - фон Неймана (п. 1.2.3).
Предложение 2. Wlo'v (О) ф 0 тогда и только тогда, когда А = tj с
точностью до множества нулевой меры и dim Ж (А) = const для п. в. А?$.
Ядром будем называть семейство {Р (А, %'); А, А'бЛ}, где Р (А, л') -
сжимающие операторы из Ж(к') в Ж (А), причем комплексная функция < <p (А)
| Р (А, X') ^ (А') ) я измерима по
мере dXXdk' для любчх ф = ^ (r)ф(A)dx, чр = ^ (А) ёк?Ж
(( )х обозначает скалярное произведение в Ж (А)). Ядро положительно
определено, если
^ ( Ф (А) ] Я (А, А') ф (А') ) xdkd^' > О л л
для всех = |ф; || ф (A) ||xrfA < оо |. Для таких ядер однозначно с
точностью до эквивалентности определяется диагональное значение Р(А, А)
(см. [141]). Обозначим *1В(А) =
= ^А (g)dg, где dg- мера Хаара в G.
в
64
Теорема. Соотношение
< <р|М(Я)г|> ) =5 $ ( Ф(*)|Р(Л, Л')ф(Я') > h\D(X-X>)dXdX', л л
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed