Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 33

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 64 >> Следующая

Эволюция открытой системы, подверженной внешним воздействиям, будь то
процесс установления равновесия с окружением или взаимодействие с
измерительным прибором, обнаруживает черты необратимости. В
математическом плане такие необратимые изменения описываются вполне
положительными отображениями.
1.1. Вполне положительные отображения. Пусть 91с2Э (Ж) - некоторая
С*-алгебра операторов, т. е. подпространство 8(Ж), замкнутое относительно
алгебраических операций, инволюции и перехода к пределу по операторной
норме (см., например, [32], [9]). Обозначим алгебру комплексных "Хп-
матриц. Линейное отображение Ф из 91 в &(Ж) (где Ж гильбертово
пространство) называется положительным, если из ХбЯ, Х^О следует Ф[Х]^0,
и вполне положительным, если для любого п^\ отображение Ф" С*-алгебры
Я<8)9ЭТ" в С*-алгебру $8 (Ж) определяемое формулой ФП(Х(r)У) =Ф"(Х)
является положительным. Другими словами, для любой матрицы [ХД, h=i," с
элементами X;7i6St, положительно определенной в том смысле,
П
что 2 <ф;|Х№<р,,)^0 для любого набора матрица
[Ф №*)];, *-i.п также является положительно определенной.
Еще одно эквивалентное определение: для любых конечных на-
69
боров {Xj}cz%. и {\pj}czX
2 <'ЫФ1А'*А^> >°- о-1)
/>ь
Для положительного отображения имеет место неравенство Кэдисона-Шварца
ФИ*Ф[ХК||Ф||Ф[ЛГ*ЛГ] (1.2)
для всех ХШ таких, что Х*Х=XX*. Если Ф вполне положительно, то
это неравенство выполняется для всех Х621. Пример по-
ложительного, но не вполне положительного отображения - транспонирование
в Шп. Если Ф положительно и 21, либо Ф (21) коммутативны, то Ф вполне
положительно. Таким образом, свойство полной положительности проявляется
лишь в некоммутативной ситуации.
Отображение я: 21 33 (Ж\ называется *-гомо морфизмом
(представлением), если оно сохраняет алгебраические операции и инволюцию.
Теорема (Стайнспринг, 1955). Пусть Sic(r) (Ж) - С*-алгебра с единицей и
Ф:Э1->-95 (Ж) - линейное отображение, ф вполне положительно тогда и
только тогда, когда оно допускает Представление
ф[А7 = 1/*я(^|1/, (1.3)
где V - ограниченное линейное отображение из Ж в некоторое гильбертово
пространство Ж, л - *-гомоморфизм 21 в S3 (Ж).
Существует единственное с точностью до унитарной эквивалентности
минимальное представление (1.3), характеризующееся свойством:
подпространство {л [Я'| 1Л(э: -^6^> ^Ж] плотно в Ж.
Доказательство прямого утверждения представляет собой обобщение
конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала (ГНС), которая соответствует случаю
положительного линейного функционала на 21 (dim == 1) [32], [9]. На
алгебраическом тензорном произведении 21(r)Ж определяется (псевдо-)
скалярное произведение, такое что
<Х(r)Ф|У(r)*> = <Ф|Ф1**У]1|>>я-; X, Уе21; ф, ^Ж.
Неотрицательность скалярного квадрата следует из (1.1). Пусть Ж
гильбертово пространство, получающееся в результате факторизации и
пополнения по этому скалярному произведе-
нию. Соотношения
л|Х|(У (g> i|)) = XY<8>if>,
VIq>=I (r) ф
определяют переходом в Ж объекты V, л, удовлетворяющие соотношению (1.3).
70
Замечание. Если 86 - метризуемый компакт и М - разложение единицы в J
на о-алгебре борелевских подмножеств &(36), то отображение
/-> j f(x)M (dx); feC ($6)
зе
С*-алгебры С(86) непрерывных комплексных функций на 86 в $)(Ж) является
(вполне) положительным. Теорема Стайнсприн-га в этом случае дает
расширение Наймарка для М, поскольку ¦ -гомоморфизм С(86) задается
ортогональным разложением единицы.
Всякая алгебра фон Неймана S3 является С*-алгеброй с единицей.
Положительное отображение Ф алгебры Э называется нормальным, если из Ха\Х
в Э следует Ф[Ха]|Ф[Х].
Следствие ([117]). Всякое нормальное вполне положительное отображение
Ф : 8(Ж)->2)(Ж) имеет вид
оо
(r)[A'J = 2^AV", (1.4)
Л = 1
ОО
где ряд f*nVn сходится сильно в Ъ (Ж).
П = 1
Доказательство. Если Ф нормально, то представление п в формуле (1.3)
также можно сОДтать нормальным. Известно, что всякое нормальное
представление алгебры 35 ($в) в пространстве Ж кратно единичному, сг. е.
Ж = Ж(r)Жй и л[А'] = = X(r)I0, где ^ - некоторое гильбертово пространство, 10
- единичный оператор в Ж0 (см., например, [78, гл. 9]). Пусть
оо
{е;} - ортонормированный базис в Ж0, тогда а
П= I
соотношение (1.3) переходит в (1.4).
Обзор свойств вполне положительных отображений имеется в статье
Штермера в сборнике [85]. Андо и Чой [57] рассмотрели нелинейные вполне
положительные отображения и установили для них обобщение теоремы
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed