Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
равенство.
2.3. Пропускная способность квантового канала связи. Набор
операторов плотности {S0} определяет простейшую модель квантового канала
связи (см. [39], [98]), для которого 0 играет роль "сигнала",
пробегающего входной алфавит 1, .. . , т. Кодирование задается
распределением вероятностей я = {лв} на входном алфавите, а декодирование
- разложением единицы М={Ми}, где и пробегает выходной алфавит 1
Вероят-
ность получить на выходе символ и при условии, что на входе-, сигнал 0,
дается формулой (2.1). Таким образом, квантовый канал связи можно
рассматривать как обычный канал со специфическими ограничениями на
переходные вероятности, неявно выраженными формулой (2.1). Чему равна
пропускная способность такого канала связи?
Рассмотрим информационное количество (я, М), определяемое формулой
типа (2.4) (где и пробегает от 1 до р) и величину Cj = sup Эх (я, М), где
супремум берется по всевоз-я;м
можным кодированиям и декодированиям. В ранних работах для оценки
пропускной способности использовалась величина
где Н (5)= -Tr S In 5 - энтропия фон Неймана квантового состояния S. В
[40], [121] показано, что для любого кодиро-
C = sup Н Jte//(S9) , (2.Ю)
53
вания я и декодирования М
(т \ т
2лв5е -2яоЯ(5е), (2.И)
0=1 / 0=1
причем если операторы S0 неперестановочны, то неравенство строгое1'. По-
видимому, при том же условии C\<lC, хотя в полной общности это не было
установлено. Однако как показывают следующие рассуждения, величина С\
также не может рассматриваться как пропускная способность.
Правильное определение пропускной способности должно быть связано с
предельной скоростью асимптотически безошибочной передачи информации.
Рассмотрим п-ю степень канала в пространстве Жп = Ж(r)п, определяемую
состояниями Sv = = Se,(r).. .<g>Se", где ¦o = (0i, 0") -всевозможные
слова вход-
ного алфавита длины п. Пусть 3п (л, М) и Cn = sup3n (я, М) -
я;м
величины, определяемые для п-й степени канала аналогично (я, М) и Сг.
Информационное количество Уп(к, М) обладает свойством аддитивности [40]
sup •?"+," (я<л>Хя(т), М(л>(r)М(т^)=-
м( п)чл(т)
= sup^n(m(n), M(n)) + sup^m(^(m), м<п)
м<т)
откуда следует, что последовательность {Сп} субаддитивна, сп+с т^Сп+т, а
следовательно, существует
C = lim С"/я= sup Cnfn. (2.12)
гг-*-со п
Основываясь на классической теореме кодирования, можно доказать, что при
/?<С существуют такие кодирования и декодирования объема yV=[2n/?], что
средняя ошибка
1 N
А0 = дг 2 (1 - TrSV.Mj)
1
стремится к нулю при п-*-оо, тогда как при R>C она не стремится к нулю
при любом выборе кодирования и декодирования [42]. Это дает основание
назвать величину С пропускной способностью данного квантового канала
связи.
Следует отметить, что для соответствующего классического канала "без
памяти" последовательность {С"} аддитивна и поэтому С=С"/"=С 1.
Оказывается, что в квантовом случае возможно строгое неравенство
СХ<С, (2.13)
Это утверждение было высказано Л. Б. Левитиным в 1969 г.
54
что соответствует парадоксальному с классической точки зрения наличию
"памяти" в произведении независимых каналов. Измерение в таком
произведении может нести больше информации, чем сумма информаций,
получаемых в каждой компоненте. Этот факт, разумеется, обусловлен
необычными статистическими свойствами составных квантовых систем и
является еще одним проявлением квантовой целостности.
Доказательство этого факта, данное в работе А. С. Холево [42],
использует следующую оценку пропускной способности С для канала с чистыми
состояниями S0= |1рв>(фе |:
т
С>С=- lnmin ^ я;-я* | (тру | ) |2 ,
я L},k=i
в основе которой лежит неравенство (2.9) для средней ошибки и модификация
метода случайных кодов, предложенная Р. Л. Стратоновичем и А. Г. Ванцян в
[36]. Для двоичного канала (т = 2)
С = 1 - In (1 +е2) > 1 - е2/1п 2, где е= | <ipi |ij)2) I • В случае
"почти ортогональных состояний"
Ci < 1 Е21пе2 + о (е2 In е2), 8->0,
откуда следует (2.13) для достаточно малых 8.
В этой области остается ряд трудных нерешенных вопросов [98].
Определенная формулой (2.12) пропускная способность не вычислена в точном
виде даже для двоичного канала. Ввиду серьезных аналитических трудностей,
представляют большой интерес всевозможные оценки и приближенные
результаты (см. Бенджбаллах и Чарбит [67], В. П. Белавкин [63], Ингарден
[110], Линдблад [121], Чемберс [74]). В общем случае С^.С, однако
