Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 36

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 64 >> Следующая

Н, а второе задает диссипативные члены.
оо
Оператор 2 LjLj связан со скоростью диссипации. Переходя
1=*
к формулировке в алгебре наблюдаемых, имеем для инфините-зимального
оператора 3? = Ж* полугруппы Ф< = ЧГ/
оо
3[Х] = i [Я, XJ + 2 (L*jXLj-L*jLfX). (2.5)
1=1
В основе доказательства теоремы лежат следующие два факта [123], [84].
Предложение. Пусть 3? - ограниченное отображение Ъ(Ж) в себя, такое
что 3?\ 1]=0. Следующие утверждения эквивалентны:
1) exp tS вполне положительно для всех ^6R+;
2) 3? вполне диссипативно, т. е. 2>[Х*]=2>[Х]* и
I- х)% Iх* J - s \xj\*xk) % > > о
j,k
для любых конечных наборов {"фЛс~Ш, {Zi}c=S9(^');
3) 3? [Х*] = 2? [X]* и S условно вполне положительна
т. е. из 2 = 0 слеДУет
j
2 < ^j\&lx)xk]tyk ) >0-j-ь
Это утверждение родственно теореме Шенберга в теории условно
положительно определенных функций (см., например, [138], а также п.
4.2.4).
Теорема. Пусть 3? - ограниченное отображение Ъ(Яё) в себя, такое что
3?[Г] = 0. Для того чтобы 2? было вполне диссипативным, необходимо и
достаточно, чтобы
9?[Х]=Ф[Х\+К*Х+ХК, (2.6)
где Ф - вполне положительное отображение, К^Ъ(Ж).
76
Соотношение (2.5) получается тогда из формулы (1.3) для нормального
вполне положительного отображения.
Доказательство формулы (2.6) может быть связано с когомологиями
алгебры Ъ(Ж). Конструкция типа ГНС сопоставляет вполне диссипативному
отображению & линейное отображение В алгебры SB (Ж) в пространство
ограниченных операторов из Ж в Ж (другое гильбертово пространство), так
что
2 [X* У]-X*S'[Y]-3?[Х]* У=В[Х]*В[У].
Более того, отображение В оказывается коциклом некоторого представления
("-гомоморфизма) я алгебры $д(Ж) в $В(Ж), т. е. удовлетворяет уравнению
B[XY]=n[X]B[Y]+B[X]Y; X, YW№).
Основную трудность представляет доказательство того, что всякий коцикл
тривиален, т. е. имеет вид В[Х] =jt[X]i?-RX, где R - ограниченный
оператор из Ж в Ж. Кристенсен и Эванс [76] обобщили этот подход и
получили аналог представления (2.6) для произвольной С*-алгебры
операторов.
2.3. Свойство консервативности. Проблема характеризации
инфинитезимального оператора динамической полугруппы без требования
непрерывности по норме трудна и остается открытой. Нетривиальной является
и задача построения динамической полугруппы по формальному выражению типа
(2.5), где H,Lj- неограниченные операторы. Дэвис [79] указал довольно
общие условия, при которых с формальным выражением (2.4) ассоциируется
сильно непрерывная полугруппа вполне положительных отображений {Ф<; R+},
такая что
Ф,[1]<1,
и являющаяся аналогом феллеровского минимального решения в классической
теории марковских процессов. Если минимальная полугруппа консервативна в
том смысле, что Ф([1] = 1, то она является единственной динамической
полугруппой, инфини-тезимальный оператор которой является замыканием
оператора (2.5), Неконсервативность, как и в классической теории, связана
с возможностью "ухода на бесконечность" за конечное время.
Пр и мер 1 ([79]). Пусть Ж = 12 - гильбертово пространство
последовательностей {i|v, 0} и "операторы рождения-
уничтожения" а*, а определены соотношениями (a*tJj)"= =Уш])п_ь
(аг|))"=Уп+1 ipn+i. Рассмотрим управляющее уравнение
^-=LStL*-L*LoSt,
где L = a*2, L* = a2, а St - диагональный оператор плотности в I2.
Диагональные элементы pn(t)', п=0,1,..., оператора St
77
удовлетворяют уравнению чистого рождения
dP^t] = - (л ± 2) (я + 1) />"(<) i- п (л - 1) Рп-2 (<).
ОО
минимальное решение которого неконсервативно,
л=0
при />0.
Дэвис дал достаточные условия консервативности, пригодные для класса
моделей квантовой диффузии. Оригинальные общие условия консервативности,
основанные на аналогиях с классической теорией марковских процессов,
предложил
А. М. Чеботарев в [49], [35]. Рассмотрим для простоты случай формального
инфинитезимального оператора
g[X] ==L*XL+K*X+XK,
где L, L*, К, К* - операторы, имеющие плотную общую инвариантную область
определения 2D. Предполагается, что 2D-¦ существенная область определения
для операторов К, К*, которые являются инфинитезимальными операторами
сильно
непрерывных сжимающих полугрупп в и что К=-L*L-\-
-\-iH, где Н - самосопряженный оператор. Условия консервативности имеют
вид
[L,L*]>-cl, i[L*L, H]^-cL*L,
где с>0 и неравенства понимаются как неравенства для соответствующих
форм, определенных на 2D. Представление о диапазоне применимости этих
условий дают два примера.
Пример 2. Пусть R), Q - оператор умножения
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed