Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 37

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 64 >> Следующая

на х, ^>==*_1'5~р а(х) - дважды непрерывно дифференцируемая функция.
Рассмотрим формальное выражение
2{Х] = Ра (Q) Ха (Q) Р-Ра {Q)*P°X. (2.7)
Если А"-оператор умножения на дважды непрерывно дифференцируемую функцию
f (х), то -S'[А'] есть оператор умножения на YlTx {a(x}2~dx~)' т' е'
СОвпаДает с инфинитезимальным оператором симметричной диффузии на
коммутативной подалгебре r°(R)c=35(L2(R)).
Условия А. М. Чеботарева выполняются, если sup а (л:) а" {х) < оо .
X
78
Пример 3. В обозначениях предыдущего примера рассмотрим выражение
оо
i?[A']= J m(dl)c(Q,l)*VlXVic(Q,l)-
-со
оо
- jj w№)|c(Q,?)poA-, (2.8)
-оо
где V* = exp(-ixP), т - вероятностная мера на R, с - комплексная
измеримая функция, такая что х(х) ^fm(d^) | с(х, |) |2<оо для всех х. На
коммутативной подалгебре L°°(R) (2.8) совпадает с инфинитезимальным
оператором скачкообразного марковского процесса в R с интенсивностью
скачков х(х). Достаточные условия консервативности выполняются, если
sup \ т {х | dQ [у. {х +1) - " (¦*)] < со ,
X J
где m(x\dl) =m(dl) \с(х, ?)\2Ы{х)-условные вероятности
скачков.
Полученные в [49] условия консервативности позволяют рассмотреть также
суммы выражений типа (2.7), (2.8) и гамильтоновых членов вида i[H, X] с
неограниченным Н.
2.4. Ковариантные эволюции. Пусть g->~Vg - представление в Ж группы
G, описывающей симметрии окружения открытой квантовой системы.
Динамическая полугруппа {Ч1^; ^GR+} называется ковариантной, если
^[^SV/]= У/ВДУ/
для всех SG(c)(<3&), gGG, ^GR+. Структура ковариантных вполне положительных
отображений рассмотрена в [149]. В конечномерном случае получена
достаточно полная классификация ин-финитезимальных операторов
динамических полугрупп, ковариантных относительно групп пространственных
симметрий [93], [1].
Пример. Рассмотрим эволюцию (2.1) открытой системы со спином 1/2 (dim
Ж = 2\ см. п. 1.1.6), ковариантную относительно действия группы SO (2),
соответствующей аксиально симметричному окружению. Представление имеет
вид ф-^е"^3, где фб[0, 2я). Общий вид инфинитезимального оператора
ковариантной динамической полугруппы
1
24S]= -i[H, 5]+ 2 Cj(LjSL*j-L*jLfS), (2.9)
1
где Cj>0, Я = у со0а3, Z._! =у=-(а] - га2), L0 = a3, Lx = = -1, (а{ -j-
io2). Полагая St = S(at), для вектора а, имеем
79
уравнение Блоха
da.t ~dt ~
---1 0 0
1
Ь 1_
е
о
1 ч 0 а/.4~ 0
к
1
0
3
1
0 0 7Т'_ _с0О/7' в _
(2.10)
где Т-2с0-\- сТ ц -2 (q -)- с_х), соа = 2Т ц (Cj -
Уравнение (2.10) описывает релаксацию спина в аксиальносимметричном
магнитном поле. Параметр Т ц (Г±) имеет смысл времени продольной
(поперечной) релаксации. При t<х> " 0 1
, так что St стремится к предельному состоянию
а
о
- С ОО J
Scо - Tf(I + cxa3).
Инфинитезимальный оператор (2.9) вполне диссипативен, что налагает
нетривиальные ограничения на физические параметры эволюции. Именно,
27'±~1-Tfx = 2с0^0, откуда 2Т^ >Т± [93].
В серии работ, обзор которых имеется в [83], описаны инфи-
нитезимальные операторы инвариантных динамических полугрупп (не
обязательно непрерывных по норме), действующих тождественно на алгебре
инвариантных элементов.
2.5. Эргодические свойства. Если Ф - динамическое отображение, то
семейство {Фй; 6 = 0, 1, ...} можно рассматривать как динамическую
полугруппу с дискретным временем. Асимптотические свойства таких
полугрупп при k->~oo являются нетривиальным обобщением эргодической
теории для классических цепей Маркова. Свойство полной положительности
используется при этом лишь постольку, поскольку оно влечет неравенство
Кэдисона-Шварца (1.2), а эргодические теоремы для средних верны для
положительных отображений.
В большинстве работ в той или иной форме присутствует предположение,
что Ф имеет точное нормальное инвариантное состояние, т. е. состояние с
невырожденным оператором плотности S", такое, что Тг 5ооФ[Х] =Tr S^X для
всех Х&Ь(Ж). Имеет место эргодическая теорема для средних
k
Ф*[аЬ--8х\Х\, (2.11)
/=о
где - условное ожидание на подалгебру 91 " инвариантных элементов Ф. В
разной степени общности этот результат был получен Я- Г. Синаем, Е. А.
Морозовой и Н. Н. Ченцовым, Кюм-мерером и другими авторами (см. обзор
[27]). Соотношение (2.11) можно рассматривать как обобщение закона
больших чисел. Много внимания было уделено распространению теорем типа
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed