Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
которые вообще не являются патологическими.
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
423
станты связи как коэффициенты разложения в степенной ряд самих скоростей
реакций около некоторой физической точки перенормировки. В наинизшем
порядке теории возмущений эта процедура неотличима от обычной процедуры
перенормировки, в которой gi (р) определяются в терминах разложения в
степенные ряды функций Грина около некоторой точки перенормировки вне
массовой поверхности. По-видимому, имеет смысл исследовать, можно ли было
бы получить последовательное определение перенормированных параметров
связи в терминах скоростей реакций, а не функций Грина, но здесь мы не
будем пытаться этого сделать.
Число свободных параметров в асимптотически безопасной теории равно
просто размерности ультрафиолетовой критической поверхности. Если
критическая поверхность бесконечномерна, то требование, чтобы физическая
теория лежала на этой поверхности, оставляет нам бесконечное число
неопределенных параметров, и мы мало чего достигаем. В другом пределе,
если размерность критической поверхности нулевая, требование
асимптотической безопасности не может быть удовлетворено вообще.
Предположим, что размерность критической поверхности — некоторое конечное
число С; в этом случае теория будет иметь С свободных параметров, из них
С—1 являются безразмерными параметрами, которые определяют отдельную
траекторию на С-мерной критической поверхности, а один параметр является
размерным и указывает нам значение р, при котором достигается некоторая
заданная точка на этой траектории. Лучшим вариантом, конечно, был бы
случай С=1; при этом физика не имела бы никаких свободных параметров,
кроме одной размерной постоянной, которая просто определяла бы наши
единицы массы или длины. Пока величина С конечна, условие асимптотической
безопасности будет для нас играть такую же роль, как условие
перенормируемости в квантовой электродинамике: оно служит для того, чтобы
фиксировать все, кроме, может быть, конечного числа параметров теории.
Фактически, как мы увидим, условие асимптотической безопасности будет в
некоторых случаях требовать, чтобы теория была перенормируемой в обычном
смысле.
Размерность критической поверхности можно определить, исходя из поведения
функций (g) вблизи фиксированной точки.
В окрестности g* (12) можно записать в виде
Р щ gi (Р) — X Bv & М ~~ sl].
(16)
где
(17)
Общим решением является
61 (Р) — S3 ckv №к + gi.
К
(18)
424
С. Вейнберг
где VK — собственный вектор Ви с собственным значением 1К,
(19>
/
а Ск — произвольные коэффициенты. Очевидно, условием того, чтобы gi (р)
достигало g* при р-»-оо, является условие обращения Ск в нуль для всех
возможных собственных значений ^>0. (Возможность нулевых собственных
значений здесь является неудобством, к которому мы вернемся позднее.)
Размерность ультрафиолетовой критической поверхности тогда будет равна
числу остающихся параметров Ск, т. е. числу отрицательных собственных
значений Bt}.
В таком случае решающая проблема состоит в том, чтобы определить, сколько
собственных значений В-матрицы являются отрицательными. Во всех случаях,
которые мне известны, это число конечно. Это можно пояснить наводящими,
хотя и весьма нестрогими соображениями. Вспомним, что
где di— размерность зависимости от массы перенормированной константы
связи gt (р), не подвергшейся изменению масштаба. Зависимость gi (р) от р
возникает из зависимости петлевых графиков от импульсов в точке
перенормировки, так что
Р,- — — djgi + петлевые вклады (20)
и
B/j — — djbjj + петлевые вклады. (21)
Тогда добавление к взаимодействию производных и степеней полей будет
всегда понижать размерность dt, поэтому не более чем конечное число dt
может быть положительным и все, кроме конечного
числа, будут лежать ниже любого заданного отрицательного зна-
чения. В отсутствие «петлевых вкладов» собственные значения В1} были бы
как раз величинами —dt, из которых все, кроме конечного числа,
положительны. «Петлевые вклады» могут, конечно, изменить знаки некоторых
из собственных значений В1}, но если эти вклады являются связанными, то
они не могут изменить знак бесконечного числа больших положительных
собственных значений, и только конечное число может быть отрицательно.
Таким образом, мы можем предположить, что ультрафиолетовая критическая
поверхность будет вообще иметь конечную размерность.
Этот вывод в ряде случаев эмпирически подтверждается наблюдаемым
существованием фазовых переходов второго рода. Фазовый переход второго
рода будет, вообще говоря, происходить при значениях параметров теории,
при которых стремятся к нулю массы или расходятся корреляционные длины,
так что физические величины могут обнаруживать масштабно-инвариантное
поведение при
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
425
больших расстояниях или малых импульсах. Повторяя соображения,
приведенные в этом разделе, мы видим, что такой скейлинг должен быть
связан с фиксированной точкой g*, где Pt(g*) стремится к нулю; фазовый
